Рівняння Больцмана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Больцмана або кінетичне рівняння Больцмана — рівняння, що описує еволюцію розподілу частинок нерівноважної термодинамічної системи в просторі координат та за швидкостями.

Людвіг Больцман запропонував це рівняння для опису нерівноважних газів, але воно стало широко вживатися й для електронного газу твердих тіл, оскільки дозволяє легко врахувати особливості квантової статистики Фермі — Дірака. Для просторово неоднорідної системи рівняння Больцмана дозволяє розраховувати процеси дифузії частинок. Для системи у зовнішних полях рівняння Больцмана дозволяє визначити баланс між прискоренням частинок полями й дисипацією їхньої енергії під час зіткнень.

Формулювання[ред.ред. код]

Для опису нерівноважної термодинамічної системи вводиться залежна від часу t, просторових координат  \mathbf{r} й швидкості частинок  \mathbf{v} функція розподілу  f(t, \mathbf{r}, \mathbf{v}), яка задає ймовірність того, що частинка в момент часу t матиме перебуватиме в кубі з вершиною в точці  \mathbf{r} і стороною  d\mathbf{r} , а її швидкість буде в діапазоні від  \mathbf{v} до  d\mathbf{v} . Для цієї функції справедливе рівняння:

 \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla f +\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot \nabla_{\mathbf{v}} f
= \mathcal{J} \bigl\{ f \bigr\} ,

де m — маса частинок,  \mathbf{F}  — сума зовнішних сил, які діють на ці частинки.

Зміна функції розподілу, тобто ймовірності того, що частинка перебуватиме в околі певної точки й матиме певну швидкість, відбувається:

  • завдяки вильоту частинки із об'єму;
  • завдяки прискоренню чи сповільненню, викликаному дією зовнішніх сил;
  • завдяки зіткненню із іншими частинками.

Член в правій частині рівняння Больцмана \mathcal{J} \bigl\{ f \bigr\} описує зміну функції розподілу при зіткненнях і називається інтергралом зіткнень. При цьому детальна механіка розсіювання частинок не розглядається. Вважається, що при розсіюванні частинки миттєво міняють свої швидкості.

Рівняння Больцмана справедливе для полів, які не дуже швидко міняються в просторі. Вважається, що кожен елементрарний об'ємчик досить великий, щоб для нього можна було ввести функцію розподілу, але малий в порівнянні із характерною довжиною зміни зовнішних полів.

Рівняння Больцмана нехтує узгодженим рухом частинок. Його справедливість обмежена газами, в яких зіткнення відбуваються не дуже часто. В випадку більших густин частинок застосовуються складніші рівняння, наприклад рівняння ББГКІ.

Інтеграл зіткнень[ред.ред. код]

Зіткнення між частинками призводить до зміни їхніх швидкостей. Якщо  W(\mathbf{v},\mathbf{v}^\prime)d^3v^\prime dt задає імовірність розсіювання частинки із стану зі швидкістю  \mathbf{v} у стан зі швидкістю  \mathbf{v}^\prime, то інтеграл зіткнень для класичних частинок записується у вигляді:   \mathcal{J} \bigl\{ f \bigr\} =\int_{\mathbf{v}^\prime} [f(t, \mathbf{r}, \mathbf{v}^\prime) W(\mathbf{v}^\prime,\mathbf{v}) - 
f(t, \mathbf{r}, \mathbf{v}) W(\mathbf{v},\mathbf{v}^\prime)]d^3v^\prime .

У випадку квантового характеру статистики частинок цей вираз ускладнюється неможливістю двох частинок перебувати в стані з одинаковими квантовими числами, а тому потрібно враховувати неможливість розсіювання в зайняті стани.

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Інтеграл зіткнень.

.

Наближення часу релаксації (τ-наближення)[ред.ред. код]

Рівняння Больцмана — складне інтегродиференціальне рівняння в часткових похідних. Окрім того, інтеграл зіткнень залежить від контретної системи, від типу взаємодії між частинками та інших факторів. Знаходження загальних характеристик нерівноважних процесів — непроста справа.

Однак, відомо, що в стані термодинамічної рівноваги інтеграл зіткнень дорівнює нулю. Справді, в стані рівноваги в однорідній системі при відсутності зовнішніх полів усі похідні в лівій частині рівняння Больцмана дорівнюють нулю, тож інтеграл зіткнень теж повинен дорівнювати нулю.

При малих відхиленнях від рівноваги функцію розподілу можна подати у вигляді

 f = f_0 + f_1 \, ,

де  f_0(\mathbf{v})  — рівноважна функція розподілу, що залежить лише від швидкостей частинок і відома з термодинаміки, а  f_1  — невелике відхилення.

В цьому випадку можна розкласти інтеграл зіткнень у ряд Тейлора відносно функції  f_1 , і записати його у вигляді:

 - \frac{f_1}{\tau} = - \frac{f-f_0}{\tau} ,

де τ — час релаксації. Таке наближення називається наближенням часу релаксації (або τ-наближенням).

Час релаксації, який входить у рівняння Больцмана залежить від швидкості частинок, а отже енергії. Час релаксації можна розрахувати для конкретної системи із конкретним процесами розсіювання частинок.

Рівнянн Больцмана в наближенні часу релаксації записується у вигляді

 \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla f +\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot \nabla_{\mathbf{v}} f
= - \frac{f- f_0}{\tau} .

Застосування[ред.ред. код]

Рівняння Больцмана застосовують для опису плазми, в теорії твердого тіла тощо, всюди, де вивчаються транспортні явища: електропровідність, термоелектричні явища, дифузія, ефект Хола та ін.

Джерела[ред.ред. код]

  • Ансельм А.И. (1978). Введение в теорию полупроводников (російська). Москва: Наука. 
Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.