Рівняння Вольтерри

Інтегральні рівняння Вольтерри — інтегральні рівняння спеціального виду. Названо на честь італійського математика Віто Вольтерра.

Класифікація

Розрізняють рівняння Вольтерри двох типів:

• лінійне першого роду

$f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds$

• лінійне другого роду

$x(t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds,$

де $f(t),\,K(t,s)$ — відомі функції, $x(t)$ — функція, яку потрібно знайти, $\lambda$ — комплексний параметр.

$K(t,s)$ називають ядром інтегрального рівняння, $f(t)$ — вільним членом. Рівняння Вольтерри можна розглядати як окремий випадок рівняння Фредгольма, але через низку специфічних властивостей такі рівняння вивчають окремо.

Розв'язання

Всяке рівняння Вольтерри з неперервним ядром при довільному комплексному параметрі ( $\lambda \neq \infty$ ) має єдиний розв'язок, що представляється у вигляді рівномірно збіжного ряду Неймана

$x(t)=x_{0}(t)+\lambda x_{1}(t)+\lambda ^{2}x_{2}(t)+...,$

де

$x_{0}(t)=f(t),\qquad x_{i}(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x_{i-1}(s)\,ds.$

Див. також

• Інтегральне рівняння Абеля
• Рівняння Лотки — Вольтерри

Література

• Т. В. Василишин. Інтегральні рівняння : Навчальний посібник / Т. В. Василишин, Т. П. Гой, І. В. Федак. — Сімик. — Івано-Франківськ, 2014. — 222 с.
• Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохорова. М.Сов.энциклопедия. 1988.- 704с.