Рівняння Гамільтона — Якобі

Класична механіка

$\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}$

Другий закон Ньютона

Історія класичної механіки Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі

Рівня́ння Гамільто́на—Я́кобі — рівняння у часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.

Рівняння має наступне формулювання:

$\frac{\partial S}{\partial t} + \mathcal{H} \left(q_i, \frac{\partial S} {\partial q_i}, t \right) = 0$.

Тут $\mathcal{H}(q_i, p_i, t)$ — функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами $q_i$ і узагальненими імпульсами $p_i$, де $i$ пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи $n$.

Визначення еволюції узагальнених координат та імпульсів

$S$ — це функція узагальнених координат $q_i$ і часу, яка має розмірність дії.

Рівняння Гамільтона-Якобі це рівняння в часткових похідних першого порядку відносно функції $S$. Його розв'язок залежить від $f$ параметрів інтегрування, які можна позначити $Q_i$. Запишемо цей розв'язок у вигляді $S(t, q_i, Q_i)$. Тоді еволюція узагальнених змінних системи визначається із розв'язку наступної ситеми алгебраїчних рівнянь:

$p_i = \frac{\partial S(t, q_i, Q_i)}{\partial q_i}$

$P_i = - \frac{\partial S(t, q_i, Q_i)}{\partial Q_i}$

де $P_i$ — це ще $n$ нових параметрів інтегрування.

Теорія відносності

Для вільної частинки в теорії відносності рівняння Гамільтона-Якобі має вигляд:

$\frac{1}{c^2} \left(\frac{\partial S}{\partial t} \right)^2 - \left(\frac{\partial S}{\partial x} \right)^2 - \left(\frac{\partial S}{\partial y} \right)^2 - \left(\frac{\partial S}{\partial z} \right)^2 = m^2c^2$,

де с — швидкість світла в порожнечі

Загальна теорія відносності

В рамках загальної теорії відносності у рівнянні Гамільтона-Якобі враховується загальний вираз для метрики простору-часу і рівняння набирає вигляду

$g^{ij} \frac{\partial S}{\partial x^i}\frac{\partial S}{\partial x^j} + m^2 c^2 =0$.

Метрика простору-часу $g_{ij}$ визначається в загальному випадку також гравітаційними полями, тож це рівняння справедливе не лише для вільної частинки, а й для частинки в гравітаційному полі.

Значення

Рівняння Гамільтона-Якобі загалом інтегрувати складніше, ніж вихідні рівняння гамільтонової механіки, проте воно є зручним засобом для побудови наближень.

Загальний вигляд рівняння Гамільтона-Якобі нагадує квантовомеханічне рівняння Шредінгера. Доведено, що для макроскопічних тіл рівняння Шредінгера зводиться до класичного рівняння Гамільтона-Якобі (дивіться Квазікласичне наближення).

Див. також

• Механіка Гамільтона
• Механіка Лагранжа

Література

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
• Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975. — 416 с.
• Лич Дж. У. Классическая механика. — М.: ИЛ, 1961. — 174 с.