Рівняння Гельмгольца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Гельмгольца - диференціальне рівняння з частинними похідними еліптичного типу, що має вигляд:

 \Delta F + k^2 F = 0 \, ,

де F(\mathbf{r}) - невідома функція,  \Delta - оператор Лапласа, k - параметр.

Зв'язок із хвильовим рівнянням[ред.ред. код]

Рівняння Гельмгольца є наслідком хвильового рівняння:

 \Delta \Phi - \frac{1}{s^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} = 0,

якщо його розв'язок шукати у вигляді:

 \Phi = F(\mathbf{r})e^{-i\omega t} .

При цьому

 k^2 = \frac{\omega^2}{s^2} .

Розв'язки[ред.ред. код]

Для знаходження конкретних розв'язків рівняння Гельмгольца для конкретної задачі математичної фізики потрібно доповнити граничними умовами.

Для безмежного тривимірного простору розв'язки можна записати у вигляді плоских хвиль:

 F = F_0 e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} ,

де  \mathbf{k}^2 = k^2 .

Для двовимірної задачі в полярній системі координат розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції функцій Бесселя:

 F = \sum_n (a_n J_n(k \rho) + b_n Y_n(k \rho)) e^{in\varphi}  .

Для тривимірного простору в сферичній системі координат розв'язки мають вигляд суперпозиції сферичних гармонік, помножених на сферичні функції Бесселя:

 F = \sum_{lm} (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta, \varphi) .