Рівняння Дена — Сомервіля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Дена — Сомервіля повний набір лінійних співвідношень на кількість граней різних розмірностей у простого багатогранника.

Формулювання[ред.ред. код]

Для даного простого n-вимірного багатогранника P позначимо через f_k кількість граней P розмірності k, зокрема f_n=1. Розглянемо формальну суму

\sum_k f_k\cdot(t-1)^k=\sum_k h_k\cdot t^k

тоді рівняння Дена — Сомервіля мають вигляд

 h_k=h_{n-k}

для кожного цілого k.

Зв'язані означення[ред.ред. код]

  • Послідовність (f_0,f_1,\dots,f_n) називається f-вектор багатогранника.
  • Послідовність (h_0,h_1,\dots,h_n) називається h-вектор багатогранника.

Історія[ред.ред. код]

У розмірностях 4 і 5, співвідношення були описані Деном[1]. В загальному випадку рівняння були описані Сомервілем в 1927.

Примітки[ред.ред. код]

  1. M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561–586