Рівняння Ейлера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Ейлера описує потік ідеальної рідини.

 \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} +\mathbf{v}(\nabla \cdot \mathbf{v}) = - \frac{1}{\rho} \nabla p,

де  \mathbf{v}  — швидкість рідини, ρ — її густина, p — тиск.

Ідеальною рідиною називається рідина, для якої неістотні процеси теплопровідності й в'язкості.

У випадку дії масових сил, наприклад, для рідини в полі тяжіння, рівняння Ейлера записується

 \frac{\partial \mathbf{v}} {\partial t} +\mathbf{v}(\nabla \cdot \mathbf{v}) = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g},

де \mathbf{g}  — прискорення вільного падіння.

Інші форми запису[ред.ред. код]

Після певних перетворень рівняння Ейлера можна переписати в інших формах, які можуть бути зручними для певних випадків.

Враховуючи, що рівняння Ейлера описує адіабатний рух рідини, можна записати

 \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} +\mathbf{v}(\nabla \cdot \mathbf{v}) = -  \nabla w,

де w — ентальпія рідини.

Ще одна форма запису виділяє в рівнянні Ейлера вихор

 \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} -[\mathbf{v}\times \text{rot}\, \mathbf{v}] = - \nabla \left( w + \frac{v^2}{2} \right).

В наступній формі запису використовуться тільки вектор швидкості

 \frac{\partial}{\partial t} \text{rot}\, \mathbf{v}= \text{rot} [\mathbf{v}\times\text{rot}\, \mathbf{v}].

Рівняння неперервності[ред.ред. код]

Для знаходження розподілу густини, швидкості та тиску в рідині (разом 5 невідомих) рівняння Ейлера слід доповнити рівнянням для густини та рівнянням для ентропії.

Рівняння для густини — це — рівняння неперервності

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}\, \rho \mathbf{v} =  0.   .

Величина  \rho \mathbf{v} називається потоком рідини.

Рівняння для ентропії:

\frac{\partial (\rho s)}{\partial t} + \text{div}\, (\rho s \mathbf{v}) =  0.   .

Із врахуванням рівняння Ейлера рівнянь кількість рівнянь (5) дорівнює кількості змінних.

Граничні умови[ред.ред. код]

Рівняння Ейлера потрібно доповнити граничними умовами на поверхнях, де рідина стикається з твердою речовиною. Оскільки рідина не може проникнути в тверде тіло, то на поверхні нормальна складова її швидкості обов'язково повинна бути нульовою.

 v_n = \mathbf{v}\cdot \mathbf{n} = 0 ,

де  \mathbf{n}  — орт нормалі до поверхні.

На границі розділу двох рідин, які не змішуються, неперервними є тиск і нормальна складова швидкості.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.
  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1988). Теоретическая физика. т. VI. Гидродинамика. Москва: Наука. 


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.