Рівняння Ейнштейна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівня́ння Ейнште́йна — основні рівняння загальної теорії відносності. Невідомою величиною в рівняннях Ейнштейна є метричний тензор  g_{ik}

(1) \qquad R_{ik} - {1 \over 2} R g_{ik} + \Lambda g_{ik} = 8 \pi {G \over c^4} T_{ik}

де R_{ik} — тензор Річчі, R — скалярна кривина, g_{ik} — метричний тензор, \Lambda — космологічна константа, T_{ik} — тензор енергії-імпульсу, який визначає негравітуючу матерію, енергію та сили в довільній точці простору-часу, \pi — число пі, c — швидкість світла, G — гравітаційна стала, яка аналогічно фігурує у відповідному законі всесвітнього тяжіння Ньютона. Тензор Річчі, скалярне викривлення та тензор енергії-імпульсу теж залежать від метричного тензора.

У загальному випадку рівняння Ейнштейна містить космологічну константу, хоча пізніше Ейнштейн відмовився від її використання. Космологічна константа була запроваджена для того, щоб досягти стаціонарності Всесвіту, але відкриття червоного зсуву заклало сумніви в стаціонарності. Космологічна константа, можливо, відповідає темній енергії.

Інформація про розподіл мас і полів міститься в тензорі енергії-імпульсу. Для повного розгляду фізичної системи рівняння Ейнштейна повинні бути доповненими рівнянням стану матерії.

Вивід рівняння Ейнштейна[ред.ред. код]

Спробуємо вивести рівняння гравітації, яке б узгоджувалося з принципами загальної теорії відносності і в граничному випадку малих мас і малих швидкостей переходило в класичний закон Всесвітнього тяжіння Ньютона. Для виводу достатньо розглянути тільки статичну задачу, коли маси не рухаються і гравітаційне поле не змінюється з часом. В класичному випадку прискорення вільного падіння \mathbf{g} до тяжіючого центру m дається формулою обернених квадратів:

(2) \qquad \mathbf{g} = - {G m \over r^2} {\mathbf{r} \over r}

Ця сила виявляється консервативною, і аналогічно до електростатики ми можемо розглядати гравітаційний потенціал \phi:

(3) \qquad \phi = - {G m \over r}

Прискорення вільного падіння дорівнює взятому зі знаком мінус градієнту потенціалу:

(4) \qquad \mathbf{g} = - \nabla \phi

а із формули (3), повністю аналогічно до електростатики, одержуємо наступне рівняння Лапласа:

(5) \qquad \nabla^2 \phi = 4 \pi G \rho

де \rho - густина маси. Це рівняння класичної механіки ми візьмемо за основу і спробуємо знайти його релятивістський аналог.

При переході до загальної теорії відносності ми повинні замінити густину маси \rho релятивістськи-інваріантною величиною. Такою величиною, до того ж приблизно пропорційною густині \rho, є тензор енергії-імпульсу T_{ij}. Оскільки маси нерухомі, то потоку енергії немає, і недіагональні елементи тезора T_{ij} дорівнюють нулю. Також ми можемо знехтувати напруженнями всередині фізичного тіла у порівнянні з дуже великою щільністю енергії спокою W = \rho c^2. Таким чином, в нашому випадку в тензорі енергії-імпульса відмінна від нуля лише одна часова компонента:

(6) \qquad (T_{ij}) = \begin{bmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}

Цей тензор стоятиме (з деяким коефіцієнтом пропорційності) в правій частині шуканого рівняння - він породжує гравітацію. А що ми повинні написати в лівій частині, тобто що таке гравітація? Відповідь дав Ейнштейн, сформулювавши принцип еквівалентності - це викривлення чотиривимірного простору-часу. Сила тяжіння обчислюється за тією ж формулою, що й сили інерції в неінерційних системах координат:

(7) \qquad F^i = - m \Gamma^i_{jk} \dot x^j \dot x^k

Відповідно коваріантна координата сили тяжіння в тривимірному просторі (знак мінус враховує псевдоевклідовість):

(8) \qquad F_i = m \Gamma_{jk, i}  \dot x^j \dot x^k

У цій формулі похідна координат береться по власному часу \tau матеріальної точки:

\dot x^j = {d x^j \over d \tau}

Ми візьмемо для вимірювання сили тяжіння нерухоме пробне тіло масою m. Вздовж світової лінії цього тіла змінюєтся лише нульова координата \dot x^0 = c, тому:

(9) \qquad g_i = c^2 \Gamma_{00, i} = {c^2 \over 2} \left ( \partial_0 g_{i0} + \partial_0 g_{0i} - 
\partial_i g_{00} \right ) = - {\partial \over \partial x^i } \left ({ c^2 g_{00} \over 2} \right )

Прирівнюючи формули (4) і (9) знаходимо, що нульова компонента метричного тензора повязана з гравітаційним потенціалом:

(10) \qquad \phi = {c^2 g_{00} \over 2} + const

Константу інтегрування ми можемо знайти, знаючи що на нескінченності (великій відстані від тяжіючих тіл) нульова компонента метричного тензора дорівнює одиниці, а потенціал перетворюється в нуль згідно з формулою (3). Отже:

(11) \qquad g_{00} = 1 + {2 \phi \over c^2}

Тепер ми готові підібрати релятивістський аналог для лівої частини формули (5). Ясно, що цей аналог повинен містити другі похідні метричного тензора g_{ij} і одночасно бути тензором, щоб задовольнити основну вимогу загальної теорії відносності - бути інваріантним щодо довільної заміни системи координат. Ми не можемо використати частинні похідні \partial^2 g_{ij} \over \partial x^k \partial x^l самі по собі, оскільки вони не є тензором (при заміні системи координат перетворюються не за тензорними правилами). Також ми не можемо скористатися коваріантною похідною, оскільки відомо, що коваріантна похідна метричного тензора \nabla_k g_{ij} тотожно дорівнює нулю. Але нам підходить тензор внутрішньої кривини (тензор Рімана):

(12) \qquad R^s_{\; ijk} = \partial_j \Gamma^s_{ki} - \partial_k \Gamma^s_{ji} + \Gamma^s_{jp} \Gamma^p_{ki} - 
\Gamma^s_{kp} \Gamma^p_{ji}
(13) \qquad R_{pijk} = {1 \over 2} \left ( {\partial^2 g_{ij} \over \partial x^k \partial x^p} +
{\partial^2 g_{kp} \over \partial x^i \partial x^j} - {\partial^2 g_{ik} \over \partial x^j \partial x^p}
- {\partial^2 g_{jp} \over \partial x^i \partial x^k} \right ) 
+ \Gamma^s_{ij} \Gamma_{kp,s} - \Gamma^s_{ik} \Gamma_{jp,s}

Ясно, що при малому викривленні простору-часу ми можемо вибрати близьку до декартової систему координат. В ній символи Крістофеля будуть близькими до нуля, тому відкинувши (два останні) квадратичні доданки в формулі (13) ми в правій частині матимемо суму других похідних від метричного тензора. В цій сумі також будуть приситні другі похідні від g_{00}, тобто від гравітаційного потенціалу (формула 11).

Тензор Рімана R_{pijk} має чотири індекси, тому ми не можемо його безпосередньо прирівнювати до тензора енергії-імпульсу T_{ij} з двома індексами. Зменшити кількість індексів можна, розглядаючи лінійні комбінації компонент тензора Рімана (12). Очевидно, ці лінійні комбінації теж містять суму дугих похідних від гравітаційного потенціалу \phi (так що залишається надія одержати аналог лівої частини формули (5)). Ми не будемо вводити нових фізичних величин, а скористаємося для коефіцієнтів цих лінійних комбінацій самим метричним тензором - тобто розглянемо згортки тензора Рімана. Однократна згортка тензора R^s_{\; ijk} за індексами (sj) дає тензор Річчі R_{ik}:

(14) \qquad R_{ik} = R^s_{\; isk}

Цей тензор симетричний і має два індекса, як і в тензора енергії-імпульса T_{ij}. Але окрім (14) ми можемо утворити ще один симетричний тензор, помноживши метричний тензор g_{ij} на скалярну кривину R, яка є згорткою тензора Річчі:

(15) \qquad R = g^{ij} R_{ij}

Отже природніми кандидатами на релятивістське узагальнення рівняння (5) є такі лінійні комбінації:

(16) \qquad \alpha R_{ij} + \beta R g_{ij} = k T_{ij}

де коефіцієнти (\alpha, \beta, k) є константами. Ці коефіцієнти можна уточнити, скориставшись локальним законом збереження енергії-імпульсу:

(17) \qquad \nabla^j T_{ij} = 0

Отже дивергенція від лівої частини формули (16) повинна дорівнювати нулю. Якби тензор Рімана був зовсім довільним, то добитися нульової дивергенції ми не змогли б ні при яких ненульових константах (\alpha, \beta). Але на щастя, як чисто математична властивість, коваріантні похідні тензора Рімана пов'язані диференціальною тотожністю Біанкі:

(18) \qquad \nabla_i R_{jkpq} + \nabla_j R_{kipq} + \nabla_k R_{ijpq} = 0

Згорнемо цю тотожність спочатку за індексами (k, q), а потім за (j,p):

(19) \qquad \nabla_i R_{jp} - \nabla_j R_{ip} + \nabla^k R_{ijpk} = 0
(20) \qquad \nabla_i R - \nabla_j R_{ij} - \nabla^k R_{ik} = 0

Із останньої рівності, перейменувавши індекс, за яким проходить згортка, ми можемо виразити дивергенцію тензора Річчі \nabla^j R_{ij} через градієнт скалярної кривини \nabla_i R:

(21) \qquad \nabla^j R_{ij} = {1 \over 2} \nabla_i R

Тепер ми готові, щоб застосувати дивергенцію до рівняння (16):

(22) \qquad \nabla^j \left (\alpha R_{ij} + \beta R g_{ij} \right ) = 
{\alpha \over 2} \nabla_i R + \beta \nabla_i R = ({\alpha \over 2} + \beta) \nabla_i R = 0

Ця рівність (закон збереження енергії-імпульса) буде тотожно задовольнятися, якщо коефіцієнт \beta дорівнює:

(23) \qquad \beta = - {\alpha \over 2}

Ясно, що тепер коефіцієнт \alpha не може дорівнювати нулю (інакше з врахуванням (23) і (16) тензор T_{ij} був би тотожним нулем). Поділимо рівність (16) на \alpha і перепозначимо поки-що невідому константу k. В результаті приходимо до такого рівняння гравітації:

(24) \qquad R_{ij} - {1 \over 2} R g_{ij} = k T_{ij}

Нам залишилось знайти константу k. Для цього треба показати, що в наближенні слабкого поля, ліва частина рівняння (24) дорівнює з деяким коефіцієнтом лапласіану гравітаційного потенціалу \nabla^2 \phi і обчислити цей коефіцієнт. Це не зовсім тривіально, оскільки окрім часової компоненти g_{00} метричного тензора (формула 11), решта компонент може також змінюватися. Деталі обчислення дивіться в статті Слабке гравітаційне поле.

Варіаційний принцип і лагранжиан гравітаційного поля[ред.ред. код]

Вираз в лівій частині рівняння (24) є тензором Ейнштейна другого степеня:

(25) \qquad G^{[2]}_{ij} = R_{ij} - {R \over 2} g_{ij}

який можна одержати варіацією інтеграла Ґаусса:

(26) \qquad \delta \int K^{[2]} d \tau = {1 \over 2}
\int G^{[2]}_{ij} \delta g^{ij} d \tau

при зміні метричного тензора g_{ij} на малу величину \delta g_{ij}. Кривина Ґаусса другого степерня K^{[2]} дорівнює половині скалярної кривини:

(27) \qquad K^{[2]} = R / 2

Оскільки для матерії (зокрема для електромагнітного поля) тензор енергії-імпульсу теж утворюється з лагранжиана подібним чином як коефіцієнт при варіації метрики, наприклад:

(28) \qquad \delta \int L d \tau = \int \left [ {1 \over 2} T_{ij} \delta g^{ij} + \left ( {\partial L \over \partial \phi} -
{\partial \over \partial x^i} {\partial L \over \partial 
{\partial \phi \over \partial x^i}} \right ) \delta \phi
\right ] d \tau

то віднімаючи від (28) попередньо помножене рівняння (26) (з належним множником, оберненим до коефіцієнта в правій частині рівняння (1)) одержимо сукупний лагранжиан матерії та гравітаційного поля:

(29) \qquad L_{\mbox{total}} = L - {c^4 \over 16 \pi G} R

при варіації якого одержується все: як рівняння Ейнштейна для гравітації, так і рівняння руху матерії:

(30) \qquad \delta \int L_{\mbox{total}} d \tau = \int \left [
{1 \over 2}\left (T_{ij} - {c^4 \over 8 \pi G} G_{ij} \right ) \delta g^{ij} + \left ( {\partial L \over \partial \phi} -
{\partial \over \partial x^i} {\partial L \over \partial 
{\partial \phi \over \partial x^i}} \right ) \delta \phi \right ] d \tau

Другий доданок в правій частині (29) є лагранжианом гравітаційного поля:

(31) \qquad L_{g} = - {c^4 \over 16 \pi G} R = {c^4 \over 8 \pi G} \left ( - K^{[2]} \right )

Філософія щодо єдності законів фізики[ред.ред. код]

Варіаційний принцип зустрічається не тільки тут, але в усіх основних розділах фізики: класичній механіці, квантовій механіці, електродинаміці, теорії відносності. Така поширеність наводить на думку, що всі закони фізики пов'язані якимось (ще невідомим науці) одним універсальним рівнянням. Це рівняння може утворюватись варіацією "всезагальної дії" від деякого загального лагранжіана. Сам Альберт Ейнштейн займався пошуками цього рівняння, хоча без значних успіхів. Одним із результатів Ейнштейна є поправка із космологічною сталою.

Поправки до рівняння Ейнштейна[ред.ред. код]

Розглянемо замість виразу (31) будь-яку функцію від тензора Рімана та його коваріантних похідних, яка утворює скаляр за тензорними правилами. Наприклад:

(32) \qquad L_g = {c^4 \over 8 \pi G} \left ( - {R \over 2} + \Lambda + a_1 \sqrt{R} + a_2 R^2 + a_3 (R^i_j R^j_i) + \dots \right)

Тоді при варіації цього узагальненого лагранжиана ми одержимо Узагальнений тензор Ейнштейна. Він наслідує основні властивості тензора Ейнштейна (формула 25) другого степеня: симетричний, релятивістськи інваріантний, нульова дивергенція. Єдина умова на поправки в формулі (32): вони мають бути малими в масштабах ближнього космосу (тобто Сонячної системи), щоб виконувався закон тяжіння Ньютона. Але в інших масштабах вони можуть проявитися. Зокрема члени з \Lambda, \; a_1 при великих масштабах - вселенських і галактичних. Квадратичні члени з a_2, \; a_3 можуть проявитися в малих, зокрема мікроскопічних масштабах. Докладніше це описано в статті Поправки до рівняння Ейнштейна.

Розв'язки[ред.ред. код]

Рівняння Ейнштейна нелінійні і розв'язки можна знайти в дуже обмеженій кількості випадків. Найвідоміший розв'язок - метрика Шварцшильда для сферичного розподілу маси.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.
  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1967). Теория поля. Теоретическая физика, т.2. Москва: Госиздат. , 460 с.