Рівняння Клейна — Гордона

Квантова механіка

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи Основа Класична механіка · Інтерференція · Бра-кет нотація · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна — Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Гордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Копенгагенська інтерпретація · Теорія прихованих параметрів · Багатосвітова Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Планк · Ейнштейн · Шредінгер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паулі · Дірак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Еверетт

Рівня́ння Кле́йна-Ґо́рдона (іноді Кле́йна-Ґо́рдона-Фо́ка) — лоренц-інваріантне хвильове рівняння, яке описує безспінову частку в квантовій теорії поля.

Рівняння Клейна-Ґордона записується

$(\Box + \mu^2) \psi = 0,$

де $\mu = \frac{mc}{\hbar} \,$,   $\Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\,$ — оператор д'Аламбера, або даламбертіан, ψ — хвильова функція, $\hbar$ — зведена стала Планка, m — маса частинки, c — швидкість світла.

Рівняння Кляйна-Ґордона є релятивістським еквівалентом рівняння Шредінгера, однак воно не годиться для опису електрона, який є ферміоном і має спін 1/2 (див. рівняння Дірака). Рівняння Клейна-Ґордона описує рух піона.

Рівняння Кляйна-Ґордона випливає із зв'язку між енергією та імпульсом частинки в теорії відносності:

$E^2 = c^2(p^2 + m^2c^2)$.

Заміняючи в цьому співвідношення E на $-i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$ і $\mathbf{p}$ на $-i\hbar \nabla$, отримують рівняння Клейна-Ґордона.

Історія

Вперше рівняння Клейна-Ґордона запропонував Ервін Шредінгер в 1926 році як релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера. Незалежно від нього - шведський фізик Оскар Клейн, радянський фізик Володимир Фок та німецький фізик Вальтер Гордон. Аналіз рівняння показав, що його розв'язок принципово відрізняється за своїм фізичним змістом від звичайних хвильових функцій, як амплітуд ймовірності знаходження частки в заданому місці простору в заданий момент часу. Функція $\Psi (x,y,z,t) \$ не визначається однозначно значеннями $\Psi \$ в початковий момент часу. Більше того, вираз ймовірності стану поряд з позитивними значеннями може набувати також і позбавлених фізичного змісту від'ємних значень. Тому спершу від рівняння Клейна-Ґордона відмовились. Проте в 1934 році Вольфганг Паулі та Віктор Вайскопф знайшли "правильну" інтерпретацію цього рівняння в рамках квантової теорії поля (вони розглянули його як рівняння поля, аналогічно до рівнянь Максвелла для електромагнітного поля, і проквантували; при цьому $\Psi \$ стало оператором).

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1983. — 944 с.
• Вихман Э. Квантовая физика // Берклеевский курс физики. — М.: Наука, 1986. — 392 с.
• Дайсон Ф. Релятивистская квантовая механика. — Ижевск: РХД, 2009. — 248 с.
• Кузьмичёв В. Е. Законы и формулы физики. — К.: Наукова думка, 1989. — 864 с.

Примітки

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.