Рівняння Ланжевена

Рівняння Ланжевена — стохастичне диференціальне рівняння, що використовується в статистичній фізиці для опису процесів із випадковими силами, наприклад, броунівський рух.

Виходячи з рівняння Ланжевена, для випадкових сил із певними характеристиками можна побудувати рівняння Фоккера-Планка, які задають еволюцію функції розподілу змінної.

Броунівський рух

Перше рівняння, вивчене Полем Ланжевеном, описувало броунівський рух з постійним потенціалом, тобто прискорення $\mathbf a$ броунівської частинки з масою $m$, що виражається через суму сили в'язкого тертя, яка пропорційна швидкості частинки $\mathbf v$ за законом Стокса, шумового члена $\mathbf \eta(t)$ (назва, яка використовується у фізиці для позначення стохастичного процесу в диференціальному рівнянні) — за рахунок безперервних зіткнень частинки з молекулами рідини, і $\mathbf \Phi (\mathbf x)$ — систематичної сили, що виникає при внутрішньомомекулярних та міжмолекулярних взаємодіях:

$m\mathbf{a} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t).$

Розв'язок рівняння

Перепишемо рівняння Ланжевена без зовнішніх сил. Крім того, без втрати загальності можна розглядати тільки одну з координат.

$m \ddot x = - \frac {1}{B} \dot x + F(t)$

Будемо вважати, що випадкова сила задовольняє таким умовам:

$\langle F(t) \rangle = 0$

$\langle F(t_1) F(t_2) \rangle = b \delta(t_1 - t_2)$

де b — деяка константа, яку ми визначимо пізніше, $\delta(t_1 - t_2)$ — дельта-функція Дірака. Кутовими дужками позначено усереднення за часом. Це т.зв. дельта-корельована випадкова величина: її автокореляційна функція дорівнює дельта-функції. Такий випадковий процес також називається білим шумом.

Перепишемо рівняння в термінах швидкості:

$\dot v = - \lambda v + \frac Fm$

де $\lambda=\frac {1}{mB}$

Нехай в початковий момент часу $t=t_0$ частинка мала швидкість $v_0$. Будемо шукати розв'язки у вигляді: $v(t)=u(t) \exp(-\lambda t)$, тоді для $u(t)$ отримаємо наступне диференціальне рівняння:

$\dot u(t) = \exp(\lambda t) \frac Fm$

У підсумку, отримуємо шуканий вираз для швидкості:

$v(t) = v_0 \exp(-\lambda t) + \exp(-\lambda t) \int\limits_0^t \frac{F(\tau)}{m}\exp(\lambda \tau)d\tau$

З нього випливають два важливих співвідношення:

1. $\langle v(t) \rangle = v_0 \exp(-\lambda t)$. Тобто середнє значення швидкості прямує до нуля з плином часу.
2. $\langle v^2(t) \rangle = v_0^2 \exp(-2\lambda t) + \frac{b}{2 \lambda m^2} \left(1-\exp(-2\lambda t)\right)$.

Середній квадрат швидкості з часом прямує до значення $\frac{b}{2 \lambda m^2}$.

Якщо припустити, що кінетична енергія частинки з часом прямує до теплової, то можна визначити значення коефіцієнта $b$:

$b = 2 \frac{k_B T}{B}$

Перетворенням початкового виразу можна отримати, що:

$\frac {d\langle x^2(t) \rangle}{dt} = \frac{2}{\lambda}\langle\left( \frac{dx}{dt} \right)^2\rangle$

$\langle \mathbf x^2 \rangle = 6 k_B T B t$

Звідси випливає співвідношення Ейнштейна:

$D = k_B T B$

де B — рухливість броунівської частинки, а $D$ - коефіцієнт дифузії.

Посилання

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980. — 406 с.
• Coffey W. T., Kalmykov Yu. P., Waldron J. T. The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering. — World Scientific, 1996.
• Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — N. Y.: McGraw-Hill, 1965.