Рівняння Ланжевена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Ланжевенастохастичне диференціальне рівняння, що використовується в статистичній фізиці для опису процесів із випадковими силами, наприклад, броунівський рух.

Виходячи з рівняння Ланжевена, для випадкових сил із певними характеристиками можна побудувати рівняння Фоккера-Планка, які задають еволюцію функції розподілу змінної.

Броунівський рух[ред.ред. код]

Перше рівняння, вивчене Полем Ланжевеном, описувало броунівський рух з постійним потенціалом, тобто прискорення \mathbf a броунівської частинки з масою m, що виражається через суму сили в'язкого тертя, яка пропорційна швидкості частинки \mathbf v за законом Стокса, шумового члена \mathbf \eta(t) (назва, яка використовується у фізиці для позначення стохастичного процесу в диференціальному рівнянні) — за рахунок безперервних зіткнень частинки з молекулами рідини, і \mathbf \Phi (\mathbf x) — систематичної сили, що виникає при внутрішньомомекулярних та міжмолекулярних взаємодіях:

m\mathbf{a} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t).

Розв'язок рівняння[ред.ред. код]

Перепишемо рівняння Ланжевена без зовнішніх сил. Крім того, без втрати загальності можна розглядати тільки одну з координат.

m \ddot x = - \frac {1}{B} \dot x + F(t)

Будемо вважати, що випадкова сила задовольняє таким умовам:

 \langle F(t) \rangle = 0
 \langle F(t_1) F(t_2) \rangle = b \delta(t_1 - t_2)

де b — деяка константа, яку ми визначимо пізніше,  \delta(t_1 - t_2) дельта-функція Дірака. Кутовими дужками позначено усереднення за часом. Це т.зв. дельта-корельована випадкова величина: її автокореляційна функція дорівнює дельта-функції. Такий випадковий процес також називається білим шумом.

Перепишемо рівняння в термінах швидкості:

 \dot v = - \lambda v + \frac Fm

де \lambda=\frac {1}{mB}

Нехай в початковий момент часу  t=t_0 частинка мала швидкість  v_0 . Будемо шукати розв'язки у вигляді:  v(t)=u(t) \exp(-\lambda t), тоді для  u(t) отримаємо наступне диференціальне рівняння:

 \dot u(t) = \exp(\lambda t) \frac Fm

У підсумку, отримуємо шуканий вираз для швидкості:

v(t) = v_0 \exp(-\lambda t) + \exp(-\lambda t) \int\limits_0^t \frac{F(\tau)}{m}\exp(\lambda \tau)d\tau

З нього випливають два важливих співвідношення:

  1.  \langle v(t) \rangle = v_0 \exp(-\lambda t) . Тобто середнє значення швидкості прямує до нуля з плином часу.
  2.  \langle v^2(t) \rangle = v_0^2 \exp(-2\lambda t) + \frac{b}{2 \lambda m^2} \left(1-\exp(-2\lambda t)\right).

Середній квадрат швидкості з часом прямує до значення  \frac{b}{2 \lambda m^2} .

Якщо припустити, що кінетична енергія частинки з часом прямує до теплової, то можна визначити значення коефіцієнта  b :

 b = 2 \frac{k_B T}{B}

Перетворенням початкового виразу можна отримати, що:

 \frac {d\langle x^2(t) \rangle}{dt} = \frac{2}{\lambda}\langle\left( \frac{dx}{dt} \right)^2\rangle
 \langle \mathbf x^2 \rangle = 6 k_B T B t

Звідси випливає співвідношення Ейнштейна:

 D =  k_B T B

де B — рухливість броунівської частинки, а  D - коефіцієнт дифузії.

Посилання[ред.ред. код]

  • Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
  • ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
  • Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980. — 406 с.
  • Coffey W. T., Kalmykov Yu. P., Waldron J. T. The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering. — World Scientific, 1996.
  • Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — N. Y.: McGraw-Hill, 1965.