Рівняння Лотки-Вольтерри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Автоколивання численності хижаків (червона крива) та жертв (чорна крива)

Рівняння Лотки-Вольтерри або рівняння хижак-жертва - система двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, яка описує кінетику чисельності популяції з одним типом хижаків і одним типом жертв. Характерною особливістю рівннянь є те, що їхнім розв'язком є автоколивання. Рівняння запропонували незалежно Альфред Джеймс Лотка та Віто Вольтерра, в 1925 та 1926 роках, відповідно.

Рівняння мають вигляд

де x - кількість жертв, наприклад, зайців, y - кількість хижаків, наприклад, вовків, α,β,γ,δ - певні параметри.

В рівняння входять такі процеси: розмноження жертв та їхня гибель врезультаті поїдання хижаками, розмноження та вимирання хижаків. Вважається, що розмноження хижаків пропорційне кількості іжі, тобто, кількості потенційних жертв у популяції.

[ред.] Стаціонарні точки

Система рівняннь має дві стаціонарні точки:

1. x=0, y =0 - ця точка відповідає відсутності в популяції як жертв, так і хижаків.
2. 

Аналіз стійкості стаціонарних точок показує, що перша з них (нульова) є сідловою, а друга - фокусом. Показник Ляпунова для фокуса чисто уявний, тому з лінійного аналізу зробити висновок про стійкість чи нестійкість фокуса неможливо. Однак для рівнянь Лотка-Вольтерра існує інтеграл руху, який показує, що фазові траєкторії - замкнуті криві, всередині яких знаходиться фокус.

[ред.] Інтеграл руху

Фазові траєкторії

Для розв'язків рівняння Лотки-Вольтерра існує інтеграл руху

Типові фазові траєкторії показані на малюнку праворуч. При значному розмноженні жертв створюються умови для розмноження хижаків завдяки доступності їжі. Але розмноження хижаків призводить до зменшення числа жертв. Коли число жертв сильно падає, хижаки теж гинуть через недостатню кількість їжі. Тільки тоді, коли кількість хижаків досягає мінімуму, популяція жертв знову починає зростати.

Існування інтегралу руху призводить до того, що величини популяцій визначаються початковими умовами. В цій задачі немає граничного циклу, який був би атрактором для фазових траєкторій. Цикли в задачі хижак-жертва мають байдужу стійкість.

[ред.] Джерела

• Сугаков В.Й.. Основи синерґетики (2001), Київ: Обереги.

Це незавершена стаття з науки. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.