Рівняння Нав'є — Стокса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Проблеми тисячоліття
Рівність класів P і NP
Гіпотеза Ходжа
Гіпотеза Пуанкаре*
Гіпотеза Рімана
Квантова теорія Янга — Мілса
Рівняння Нав'є-Стокса
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра
* доведені
Механіка суцільних середовищ
BernoullisLawDerivationDiagram.svg



Рівня́ння Нав'є́ — Сто́кса, названі на честь Клода-Луї Нав'є та Габріеля Стокса, описуть течію в'язкої рідини або газу. Ці рівняння виникають при застосуванні Другого закону Ньютона до руху рідини,

 \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = 
- \nabla  p + \eta \Delta \mathbf{v} + \left(\zeta + \frac{\eta}{3}  \right) \nabla\text{div}\, \mathbf{v} .

Тут  \mathbf{v} — поле швидкості рідини, ρ — густина, p — тиск, η — коефіцієнт динамічної в'язкості, ζ — друга в'язкість, \nabla — оператор набла, \Delta — оператор Лапласа.

У випадках, коли в'язкість є функцією тиску й температури рівняння Нав'є-Стокса записується


\rho \left( \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k} \right) = 
- \frac{\partial p}{\partial x_i } + \frac{ \partial}{\partial x_k} 
\left[ \eta \left( 
\frac{\partial v_i}{\partial x_k}  +
\frac{\partial v_k}{\partial x_i} 
- \frac{2}{3}\delta_{ik}\frac{\partial v_i}{\partial x_i}  
\right)
\right] + 
\frac{\partial}{\partial x_k} \left( \zeta \frac{\partial v_i}{\partial x_i} \right).

У рівнянні Нав'є-Стокса 5 невідомих (три компоненти швидкості, густина й тиск), а тому його слід доповнити рівнянням неперервності й рівнянням, яке виражає закон збереження енергії.

Рівняння неперервності:

 \frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}\, \rho \mathbf{v} = 0.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.



Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.