Рівняння Нав'є — Стокса

Проблеми тисячоліття
Рівність класів P і NP
Гіпотеза Ходжа
Гіпотеза Пуанкаре
Гіпотеза Рімана
Квантова теорія Янга — Мілса
Рівняння Нав'є-Стокса
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра

Рівня́ння Нав'є́ — Сто́кса описує течію в'язкої рідини або газу

$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \eta \Delta \mathbf{v} + \left(\zeta + \frac{\eta}{3} \right) \nabla\text{div}\, \mathbf{v}$.

Тут $\mathbf{v}$ — поле швидкості рідини, ρ — густина, p — тиск, η — коефіцієнт динамічної в'язкості, ζ — друга в'язкість, $\nabla$ — оператор набла, $\Delta$ — оператор Лапласа.

У випадках, коли в'язкість є функцією тиску й температури рівняння Нав'є-Стокса записується

$\rho \left( \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_i } + \frac{ \partial}{\partial x_k} \left[ \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} - \frac{2}{3}\delta_{ik}\frac{\partial v_i}{\partial x_i} \right) \right] + \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \zeta \frac{\partial v_i}{\partial x_i} \right).$

У рівнянні Нав'є-Стокса 5 невідомих (три компоненти швидкості, густина й тиск), а тому його слід доповнити рівнянням неперервності й рівнянням, яке виражає закон збереження енергії.

Рівняння неперервності:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}\, \rho \mathbf{v} = 0.$

Рівняння названі на честь Клода-Луї Нав'є та Габріеля Стокса.

Див. також

• Рівняння Бюргерса

Джерела

• Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.