Рівняння Пелля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Пеллядіофантове рівняння вигляду:


x^2-n y^2=1,
\,

де n — додатне ціле число, що не є точним квадратом цілого числа. Рівняння Пелля є класом діофантових рівнянь другого степеня.

Доведено, що при кожному такому значенні n рівняння має задану нескінченну послідовність розв'язків. Одним із застосувань теорії рівняння Пелля є наближення ірраціонального числа \sqrt {n} раціональними з якомога меншою похибкою.

Розв'язки[ред.ред. код]

Рівняння Пелля для довільного n має пару тривіальних розв'язків (\pm 1,0).

У випадку коли n не є точним квадратом існує нескінченна кількість розв'язків.

Якщо  \frac{p_i}{q_i} — наближені дроби розкладу \sqrt{n} у ланцюговий дріб з періодом k, то додатні розв'язки рівняння Пелля мають вигляд:

x = p_{km - 1}, \quad y = q_{km - 1}

де m — будь-яке натуральне число таке, що km є парним.

Всі додатні розв'язки рівняння Пелля можна одержати з формули:

x_k + y_k\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^k.

де k — будь-яке ціле, а 1, у1) — розв'язок з найменшими додатними значеннями невідомих.

Еквівалентно розв'язки можна знайти із рекурентних співвідношень:

  x_{k+1} = x_1 x_k + n y_1 y_k,\,
y_{k+1} = x_1 y_k + y_1 x_k.\,

Зв'язок з алгебраїчною теорією чисел[ред.ред. код]

Пара (x, у) є розв'язком рівняння Пелля тоді і тільки тоді, коли норма числа x+y\sqrt{n} у розширенні \Q(\sqrt{n}) поля \Q рівна одиниці:

N(x+y\sqrt{n})= (x+y\sqrt{n})(x-y\sqrt{n}) = x^2 - n y^2.

Зокрема, рішенню відповідає оборотний елемент кільця Z[\sqrt{n}]. Тому, зважаючи на мультиплікативність норми, розв'язки можна множити і ділити: розв'язкам (x_1,y_1) і (x_2,y_2) можна поставити у відповідність розв'язки

(x_1 x_2 + n y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2), \quad (x_1 x_2 - n y_1 y_2, -x_1 y_2 + y_1 x_2).

Приклад[ред.ред. код]

Для рівняння x^2-2 y^2=1,\, найменшим додатним розв'язком буде пара чисел ( 3, 2)\,. Всі додатні розв'язки відповідно можна одержати за допомогою формули:

x_k + y_k\sqrt 2 = (3 + 2\sqrt 2)^k.

Якщо ( x, y)\, — розв'язки, то розв'язками також будуть числа (3x +4y, 2x + 3y),\, які можна визначити як ( 3, 2) \cdot (x, y) згідно з уведеним вище добутком.

Дійсно:

(3x + 4y)^2 - 2(2x + 3y)^2 = (9x^2 + 24xy + 16 y^2) - 2 (4x^2 +12xy +9y^2)  = x^2-2 y^2\,

Література[ред.ред. код]

  • Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. — Москва: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-96-0
  • Barbeau, Edward J. (2003), Pell's Equation, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, MR1949691, ISBN 0387955291 .