Рівняння Пуассона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Пуассона - неоднорідне еліптичне рівняння в часткових похідних другого порядку, загального виду

 \Delta \varphi = f ,

де  \Delta  — оператор Лапласа,  \varphi  — невідома функція,  f  — довільна функція, що не залежить від невідомої.

Зокрема, в електростатиці рівняння, яке описує потенціал електричного поля  \varphi в системі зарядів, заданих густиною  \rho [1]

 \Delta \varphi = - 4\pi  \rho .

Як і для будь-якого іншого неоднорідного лінійного диференціального рівняння розв'язок рівняння є сумою загального розв'язку однорідного рівняння і часткового розв'язку неоднорідного рівняння.

Частковий розв'язок неодрорідного рівняння можна записати через функцію Гріна.

 \varphi(\mathbf{r}) = 4 \pi \int \frac{\rho(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}- \mathbf{r}^\prime|} dV^\prime .

Повний розв'язок задається сумою часткового розв'язку та довільного розв'язку однорідного рівняння Лапласа.

Література[ред.ред. код]

  • Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;

Примітки[ред.ред. код]

  1. Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в систему СІ дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему СІ.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.