Рівняння Ріккаті

Рівняння Рікатті — звичайне диференціальне рівняння виду:

$y' = q_0(x) + q_1(x) \, y + q_2(x) \, y^2 . \quad (*)$

де $q_0(x), q_1(x), q_2(x)$ — неперервні на деякому інтервалі I функції. Окремий випадок рівняння:

$y' = ay^2 + bx^{\alpha}, \quad (**)$

($a, b, \alpha\,$ — сталі), досліджував Якопо Ріккаті (1723). У цьому разі рівняння називають спеціальним рівнянням Ріккаті. Воно цікаве насамперед з огляду на такий факт. Даніель Бернуллі близько 1725 року встановив, шо спеціальне рівняння Ріккаті допускає відшукання загального розв'язку в елементарних функціях, якщо $\alpha = -2\,$ або $\alpha = \frac{-4n}{(2n -1)}$, де n — ціле число. У 1841 році Жозеф Ліувілль з'ясував, що при всіх інших значеннях $\alpha$ це рівняння вже не можна зінтегрувати в квадратурах.

Рівняння та його узагальнення на випадок систем диференціальних рівнянь мають важливі застосування в багатьох математичних дисциплінах.

Властивості

Рівняння Ріккаті завжди можна зінтегрувати в квадратурах, якщо вдалося знайти хоча б один його частинний розв'язок.

Якщо y₁ — частинний розв'язок рівняння, то заміна змінних y = y₁ + u де u — нова невідома функція незалежної змінної x, зводить це рівняння до рівняння Бернуллі.

Підставивши в (*) y = y₁ + u, дістанемо

$y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2,$

Але $y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2$ . Тому рівняння для нової змінної у має вигляд:

$u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2.$ Це — рівняння Бернуллі.

Зведення до лінійного рівняння другого порядку

• Нелінійне рівняння Ріккаті завжди може бути зведене до лінійного диференціального рівняння другого порядку. Якщо

$y'=q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2\!$

тоді коли $q_2\,$ є ненульовим, $v=yq_2\,$ задовольняє рівняння Ріккаті виду:

$v'=v^2 + R(x)v +S(x),\!$

де $S=q_2q_0$ і $R=q_1+\left(\frac{q_2'}{q_2}\right)$, тому що

$v'=(yq_2)'= y'q_2 +yq_2'=(q_0+q_1 y + q_2 y^2)q_2 + v \frac{q_2'}{q_2}=q_0q_2 +\left(q_1+\frac{q_2'}{q_2}\right) v + v^2.\!$

Підставляючи $v=-u'/u\,$, одержуємо що $u$ задовольняє лінійне рівняння другого порядку

$u''-R(x)u' +S(x)u=0 \!$

оскільки

$v'=-(u'/u)'=-(u''/u) +(u'/u)^2=-(u''/u)+v^2\!$

тому

$u''/u= v^2 -v'=-S -Rv=-S +Ru'/u\!$

і остаточно

$u'' -Ru' +Su=0.\!$

З розв'язку цього рівняння можна одержати розв'язок $y=-u'/(q_2u)\,$ вихідного рівняння Ріккаті.

• Нехай $y_1(x), y_2(x)$ — часткові розв'язки рівняння Ріккаті. Тоді загальний розвязок визначається з формули:

$y = \frac{C y_1 + U(x) y_2}{C + U(x)},$ де

$U(x) = \exp \left [ \int q_2(y_1 - y_2)dx \right ]$

• Загальний розвязок рівняння Ріккаті (*) є раціональною функцією від сталої інтегрування, і навпаки, будь-яке диференціальне рівняння першого порядку, що володіє цією властивістю, є рівнянням Ріккаті.
• Якщо $y_1(x), \ldots, y_4(x)$ — часткові розв'язки рівняння Ріккаті , що відповідають значенням $c_1, \ldots, c_4$ сталої інтегрування, то має місце тотожність:

$\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_3(x)-y_2(x)} : \frac{y_4(x)-y_1(x)}{y_4(x)-y_2(x)} \equiv \frac{c_3-c_1}{c_3-c_2} : \frac{c_4-c_1}{c_4-c_2}.$

Загальний розв'язок рівняння Ріккаті визначається з трьох часткових за допомогою даної функції.

Матричне рівняння Ріккаті

• Матричним рівнянням Ріккаті називається диференціальне рівняння:

$\frac{dX}{dt} = XA(t)X + B(t)X + XC(t) + D(t).$

де X — невідома матриця розмірів n×m, а розміри матриць A(t), B(t), С(t), D(t) відповідно m×n, n×n, m×m, n×m.

Матричне рівняння Ріккаті відіграє важливу роль в теорії лінійних гамільтонових систем, варіаційному численні, задачах оптимального управління, фільтрації, стабілізації керованих лінійних систем. Наприклад, оптимальне управління u₀ в задачі мінімізації функціонала:

$x^T(t_1) \Phi x(t_1) = \int_{t_0}^{t_1} \left [ x^T(t) M (t) x(t) + u^T(t) N (t) x(t)\right ] dt$

на розв'язках системи:

$x' = A(t) x + B(t) u , \quad x(t_0)= x_0,$

(n×n-матриці Φ, М(t) симетричні і невід'ємноозначені, а m×m -матриця N(t), додатноозначена при $t \in [t_0, t_1]$), визначається формулою:

$u_0(t) = - N^{-1}(t)B^T(t)Z(t)x\,$

де Z(t) — розв'язок матричного рівняння Ріккаті:

$Z'= - ZA(t) - A^T(t)Z + ZB(t)N^{-1}(t) B^T(t)Z - M(t)\,$

з граничною умовою $Z(t_1) = \Phi.\,$

У задачах управління на нескінченному інтервалі часу важливими є питання про існування у матричного рівняння Ріккаті невід'ємноозначеного обмеженого на $[t_0, \infty ]$ розв'язку, про існування періодичного або майже періодичного розв'язку (у випадку періодичних або майже періодичних коефіцієнтів рівняння) і про способи наближеної побудови таких рішень.

Див. також

• Диференціальне рівняння Бернуллі
• Лінійне диференційне рівняння

Література

• В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
• Лионс Ж.-Л., Оптимальное управление Системами, описываемыми уравнениями с частными производными, пер. с франц., М., 1972;
• Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк I.О. Диференціальні рівняння: Підручник. – К.: Либідь, 2003р. – 600 с.