Рівняння Ріккаті

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Рікаттізвичайне диференціальне рівняння виду:

y' = q_0(x) + q_1(x) \, y + q_2(x) \, y^2 . \quad (*)

де q_0(x), q_1(x), q_2(x)неперервні на деякому інтервалі I функції. Окремий випадок рівняння:

 y' = ay^2 + bx^{\alpha}, \quad (**)

(a, b, \alpha\, — сталі), досліджував Якопо Ріккаті (1723). У цьому разі рівняння називають спеціальним рівнянням Ріккаті. Воно цікаве насамперед з огляду на такий факт. Даніель Бернуллі близько 1725 року встановив, шо спеціальне рівняння Ріккаті допускає відшукання загального розв'язку в елементарних функціях, якщо \alpha = -2\, або \alpha = \frac{-4n}{(2n -1)}, де nціле число. У 1841 році Жозеф Ліувілль з'ясував, що при всіх інших значеннях \alpha це рівняння вже не можна зінтегрувати в квадратурах.

Рівняння та його узагальнення на випадок систем диференціальних рівнянь мають важливі застосування в багатьох математичних дисциплінах.

Властивості[ред.ред. код]

Рівняння Ріккаті завжди можна зінтегрувати в квадратурах, якщо вдалося знайти хоча б один його частинний розв'язок.

Якщо y1 — частинний розв'язок рівняння, то заміна змінних y = y1 + u де u — нова невідома функція незалежної змінної x, зводить це рівняння до рівняння Бернуллі.
Підставивши в (*) y = y1 + u, дістанемо
y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2,
Але y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2 . Тому рівняння для нової змінної у має вигляд:
u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2. Це — рівняння Бернуллі.

Зведення до лінійного рівняння другого порядку[ред.ред. код]

y'=q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2\!

тоді коли q_2\, є ненульовим, v=yq_2\, задовольняє рівняння Ріккаті виду:

v'=v^2 + R(x)v +S(x),\!

де S=q_2q_0 і R=q_1+\left(\frac{q_2'}{q_2}\right), тому що

v'=(yq_2)'= y'q_2 +yq_2'=(q_0+q_1 y + q_2 y^2)q_2 + v \frac{q_2'}{q_2}=q_0q_2  +\left(q_1+\frac{q_2'}{q_2}\right) v + v^2.\!

Підставляючи v=-u'/u\,, одержуємо що u задовольняє лінійне рівняння другого порядку

u''-R(x)u' +S(x)u=0 \!

оскільки

v'=-(u'/u)'=-(u''/u) +(u'/u)^2=-(u''/u)+v^2\!

тому

u''/u= v^2 -v'=-S -Rv=-S +Ru'/u\!

і остаточно

u'' -Ru' +Su=0.\!

З розв'язку цього рівняння можна одержати розв'язок y=-u'/(q_2u)\, вихідного рівняння Ріккаті.

  • Нехай y_1(x), y_2(x) — часткові розв'язки рівняння Ріккаті. Тоді загальний розвязок визначається з формули:
y = \frac{C y_1 + U(x) y_2}{C + U(x)}, де
U(x) = \exp \left [ \int q_2(y_1 - y_2)dx \right ]
  • Загальний розвязок рівняння Ріккаті (*) є раціональною функцією від сталої інтегрування, і навпаки, будь-яке диференціальне рівняння першого порядку, що володіє цією властивістю, є рівнянням Ріккаті.
  • Якщо y_1(x), \ldots, y_4(x) — часткові розв'язки рівняння Ріккаті , що відповідають значенням c_1, \ldots, c_4 сталої інтегрування, то має місце тотожність:

\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_3(x)-y_2(x)} : \frac{y_4(x)-y_1(x)}{y_4(x)-y_2(x)} \equiv \frac{c_3-c_1}{c_3-c_2} : \frac{c_4-c_1}{c_4-c_2}.

Загальний розв'язок рівняння Ріккаті визначається з трьох часткових за допомогою даної функції.

Матричне рівняння Ріккаті[ред.ред. код]

  • Матричним рівнянням Ріккаті називається диференціальне рівняння:
\frac{dX}{dt} = XA(t)X + B(t)X + XC(t) + D(t).

де X — невідома матриця розмірів n×m, а розміри матриць A(t), B(t), С(t), D(t) відповідно m×n, n×n, m×m, n×m.

Матричне рівняння Ріккаті відіграє важливу роль в теорії лінійних гамільтонових систем, варіаційному численні, задачах оптимального управління, фільтрації, стабілізації керованих лінійних систем. Наприклад, оптимальне управління u0 в задачі мінімізації функціонала:

x^T(t_1) \Phi x(t_1) = \int_{t_0}^{t_1} \left [ x^T(t) M (t) x(t) + u^T(t) N (t) x(t)\right ] dt

на розв'язках системи:

x' = A(t) x + B(t) u , \quad x(t_0)= x_0,

(n×n-матриці Φ, М(t) симетричні і невід'ємноозначені, а m×m -матриця N(t), додатноозначена при t \in [t_0, t_1]), визначається формулою:

u_0(t) = - N^{-1}(t)B^T(t)Z(t)x\,

де Z(t) — розв'язок матричного рівняння Ріккаті:

Z'= - ZA(t) - A^T(t)Z + ZB(t)N^{-1}(t) B^T(t)Z - M(t)\,

з граничною умовою Z(t_1) = \Phi.\,

У задачах управління на нескінченному інтервалі часу важливими є питання про існування у матричного рівняння Ріккаті невід'ємноозначеного обмеженого на [t_0, \infty ] розв'язку, про існування періодичного або майже періодичного розв'язку (у випадку періодичних або майже періодичних коефіцієнтів рівняння) і про способи наближеної побудови таких рішень.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
  • Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.
  • Лионс Ж.-Л., Оптимальное управление Системами, описываемыми уравнениями с частными производными, пер. с франц., М., 1972;
  • Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк I.О. Диференціальні рівняння: Підручник. – К.: Либідь, 2003р. – 600 с.