Рівняння Фоккера-Планка

Розпливання функції розподілу з часом

Рівня́ння Фо́ккера — Пла́нка — диференціальне рівняння в частинних похідних, що описує еволюцію функції розподілу випадкової величини.

Для одновимірної випадкової величини рівння Фоккера-Планка має загальний вигляд

$\frac{\partial P}{\partial t} = \left[ - \frac{\partial}{\partial x} D^{(1)}(x) + \frac{\partial^2}{\partial x^2} D^{(2)}(x) \right] P$,

де $P(x, t)$ — функція розподілу випадкової величини, $D^{(1)}(x)$ називається дрейфовим коефіцієнтом, а $D^{(2)}(x)$ — дифузійним коефіцієнтом.

Наприклад, у випадку броунівського руху вздовж прямої рівняння Фоккера-Планка для фунції розподілу частинок за швидкостями має вигляд:

$\frac{\partial P}{\partial t} = - \gamma \frac{\partial (v P)}{\partial v} + \gamma \frac{k_BT}{m} \frac{\partial^2 P}{\partial v^2}$,

де $v$ — швидкість броунівської частки, $m$ — її маса, $k_B$ — стала Больцмана, T — температура, $\gamma$ — коефіцієнт в'язкості, розділений на масу частки.

Дифузійний і дрейфовий коефіцієнти можна отримати, розглядаючи відповідне рівняння Ланжевена.

Дивіться також

• Рівняння Смолуховського

Література

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. — М.: Мир, 1974. — 37 с.
• Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980. — 406 с.
• Risken H. The Fokker-Planck Equation. — Berlin: Springer-Verlag, 1984.

Примітки

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.