Рівняння Шредінгера

Квантова механіка

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи Основа Класична механіка · Інтерференція · Бра-кет нотація · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна — Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Гордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Копенгагенська інтерпретація · Теорія прихованих параметрів · Багатосвітова Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Планк · Ейнштейн · Шредінгер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паулі · Дірак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Еверетт

Рівняння Шредінгера — основне рівняння нерелятивістської квантової механіки, яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.

$i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle = H \left| \psi (t) \right\rangle.$,

де $\left| \psi (t) \right\rangle$ — хвильова функція, $H$ — гамільтоніан. Уперше це рівняння було записане Ервіном Шредінгером у 1926 році.

Властивості

Внаслідок квантового принципу суперпозиції станів рівняння, що описує еволюцію системи, має бути лінійним. Рівняння Шредінгера є саме таким.

Рівняння Шредінгера не лоренц-інваріантне, тобто справедливе лише для частинок, швидкість яких набагато менша за швидкість світла. Загальніше рівняння Дірака переходить у рівняння Шредінгера при малих швидкостях. Тому при взаємодії з магнітним полем (яке є чисто релятивістським явищем) не можна використовувати звичайне рівняння Шредінгера.

Комплексно спряжене рівняння

$-i\hbar \frac{\partial \left| \psi^* \right\rangle}{\partial t} = \hat{H} \left| \psi^* \right\rangle$,

збігається з рівнянням Шредінгера, якщо замінити t на −t, а хвильову функцію $\left| \psi \right\rangle \,$ на $\left| \psi^* \right\rangle$. Це факт відображає зворотність процесів у квантовій механіці.

Детермінізм

Для визначення хвильової функції будь-якої нерелятивістської квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шредінгера із початковими умовами

$\left| \psi(\mathbf{r}, 0) \right\rangle = \left| \psi_0(\mathbf{r}) \right\rangle \,$,

де $\left| \psi_0(\mathbf{r}) \right\rangle \,$ — певне початкове значення хвильової функції.

Дана умова аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються квантовим детермінізмом.

В реальному експерименті приготувати квантовомеханічну систему у стані із відомою початковою хвильовою функцією буває важко. У випадку, коли це складно, використовується інший підхід (див. матриця густини).

Формальний розв'язок

Формальний розв'язок рівняння Шредінгера

$\left| \psi(\mathbf{r}, t) \right\rangle = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} t \right) \left| \psi_0(\mathbf{r}) \right\rangle$

Тут $\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} t \right)$ є не числом, а оператором, який називають оператором еволюції.

Стаціонарне рівняння Шредінгера

Докладніше у статті Стаціонарне рівняння Шредінгера

Якщо гамільтоніан квантової системи не зажить від часу, рівняння Шредінгера можна розв'язати відносно часу методом розділення змінних і отримати так зване стаціонарне рівняння Шредінгера

$\hat{H} \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle$,

де E — певне дійсне число, яке інтерпретують, як енергію. Це рівняння є рівнням на власні значення. Розв'язуючи його знаходять енергетичний спектр квантової системи, тобто такі значення E, при яких розв'язок існує. Кожному власному значенню $E_n$ стаціонарного рівняння Шредінгера відповідає власна фукнція $\psi_n$.

Загальний розв'язок часового рівняння Шредінгера тоді записується у вигляді:

$\left| \Psi (t) \right\rangle = \sum_n a_n e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t} \left| \psi_n \right\rangle$,

де $a_n$ — комплексні коефіцієнти, які можна визначити з початкових умов.

У разі, коли гамільтоніан квантової системи залежить від часу, наприклад, при взаємодії системи з електромагнітною хвилею, перехід до стаціонарного рівняння Шредінгера неможливий. В такій квантовій системі енергія не зберігається, система може поглинати енергію хвилі або віддавати її хвилі.

Див. також

• Рівняння Клейна-Гордона
• Рівняння Дірака

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.