Рівняння Шредінгера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Рівняння Шредінгера — основне рівняння руху нерелятивістської квантової механіки, яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.

 i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle = \hat{H} \left| \psi (t) \right\rangle.,

де  \left| \psi (t) \right\rangle  — хвильова функція,  \hat{H}  — гамільтоніан. Уперше це рівняння було опубліковане Ервіном Шредінгером у 1926 році.

Для вільної частинки у координатному зображенні рівняння Шредінгера має вигляд

 i \hbar {d \psi (\mathbf{r}, t) \over d t}   = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi (\mathbf{r}, t),,

де  \Delta оператор Лапласа, а mмаса частинки, тобто є хвильовим рівнянням, розв'язками якого є хвилі із квадратичним законом дисперсії:

 \hbar \omega = \frac{\hbar^2 \mathbf{k}^2}{2m} .

Отже, рівняння Шредінгера описує хвилі де Бройля, але водночас для частинки в зовнішньому потенціалі рівняння має розв'язки, локалізовані в просторі. Спектр таких розв'язків дискретний. Зокрема, рівняння Шредінгера розв'язується точно для частинки в кулонівському потенціалі, тобто відтворює енергетичний спектр атома водню.

Завдяки цій можливості опису різноманітних систем рівняння Шредінгера широко використовується для дослідження широкого спектру задач квантової фізики та квантової хімії.

Властивості[ред.ред. код]

Внаслідок квантового принципу суперпозиції станів рівняння, що описує еволюцію системи, має бути лінійним. Рівняння Шредінгера є саме таким, тобто, якщо дві хвильові функції  | \varphi(t) \rangle та  | \chi(t) \rangle задовольняють рівнянню Шредінгрера, то суперпозиція

 | \psi(t) \rangle  = a  | \varphi(t) \rangle + b  | \chi(t) \rangle   ,

з довільними комплексними коефіцієнтами a і b теж йому задовільняє.

Рівняння Шредінгера не інваріантне щодо перетворень Лоренца, тобто справедливе лише для частинок, швидкість яких набагато менша за швидкість світла. Загальніше рівняння Дірака переходить у рівняння Шредінгера при малих швидкостях. Тому при взаємодії з магнітним полем (яке є чисто релятивістським явищем) у загальному випадку не можна використовувати звичайне рівняння Шредінгера, а потрібно враховувати релятивістські поправки, зокрема спін (дивіться рівняння Паулі).

Комплексно спряжене рівняння

 -i\hbar \frac{\partial \left| \psi^* \right\rangle}{\partial t} = \hat{H} \left| \psi^* \right\rangle ,

збігається з рівнянням Шредінгера, якщо замінити t на −t, а хвильову функцію  \left| \psi \right\rangle \, на  \left| \psi^* \right\rangle . Цей факт відображає зворотність процесів у квантовій механіці.

У граничному випадку  \hbar \rightarrow 0 рівняння Шредінгера зводиться до рівняння Гамільтона-Якобі класичної механіки, що означає сумісність квантового опису фізичної системи з класичним (дивіться Квазікласичне наближення).

Детермінізм[ред.ред. код]

Для визначення хвильової функції будь-якої нерелятивістської квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шредінгера із початковими умовами

 \left| \psi(0) \right\rangle  = \left| \psi_0 \right\rangle  \,,

де  \left| \psi_0 \right\rangle \, — певне початкове значення хвильової функції.

Дана умова аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються квантовим детермінізмом. Якщо в класичній механіці для визначення еволюції фізичної системи за законами Ньютона потрбіно знати початкові положення і швидкості частинок, то в квантовій механічі одночасне точне визначення координат та швидкостей неможливе (дивіться Принцип невизначеності), зате необхідно знати початкову хвильову функцію, що містить набагато більше інформації.

У реальному експерименті приготувати квантовомеханічну систему у стані із відомою початковою хвильовою функцією буває важко. У випадку, коли це складно, використовується інший підхід (див. матриця густини).

Формальний розв'язок[ред.ред. код]

Формальний розв'язок рівняння Шредінгера

  \left| \psi(t) \right\rangle = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} t \right) \left| \psi_0 \right\rangle

Тут  \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} t \right) є не числом, а оператором, який називають оператором еволюції.

Стаціонарне рівняння Шредінгера[ред.ред. код]

Якщо гамільтоніан квантової системи не зажить від часу, рівняння Шредінгера можна розв'язати відносно часу методом розділення змінних і отримати так зване стаціонарне рівняння Шредінгера

\hat{H} \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle ,

де E — певне дійсне число, яке інтерпретують, як енергію. Це рівняння є рівнням на власні значення. Розв'язуючи його знаходять енергетичний спектр квантової системи, тобто такі значення E, при яких розв'язок існує. Кожному власному значенню E_n стаціонарного рівняння Шредінгера відповідає власний вектор  | \psi_n \rangle .

Загальний розв'язок часового рівняння Шредінгера тоді записується у вигляді:

 \left| \psi (t) \right\rangle = \sum_n a_n e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t}  \left| \psi_n \right\rangle ,

де  a_n  — комплексні коефіцієнти, які можна визначити з початкових умов.

У разі, коли гамільтоніан квантової системи залежить від часу, наприклад, при взаємодії системи з електромагнітною хвилею, перехід до стаціонарного рівняння Шредінгера неможливий. В такій квантовій системі енергія не зберігається, система може поглинати енергію хвилі або віддавати її хвилі.

Методи розв'язку[ред.ред. код]

Рівняння Шредінгера розв'язується аналітично для невиликого числа задач, більшість з яких модельні. Важливими фізичними системами, для яких існують точні розв'язки є задача про вільну частинку і задача двох тіл з кулонівським потенціалом взаємодії, окремими випадками якої є задача про енергетичний спектр атома водню та про задача про резерфордівське розсіяння. Модельні задачі допомагають зрозуміти важливі квантові ефекти, такі, наприклад, як тунелювання. Для складніших фізичних систем розробнено різноманітні методи наближеного розв'язування, зокрема, теорія збурень, варіаційний метод тощо.

Більшість методів наближеного розв'язування, як аналітичних, так і чисельних, стосуються стаціонарного рівняння Шредінгера. Часове рівняння Шредінгера набуває значення тоді, коли в фізичній системі є взаємодія, яка залежить від часу, наприклад, коли система передуває в змінному електромагнітному полі. Тоді система не може довільно довго зберігати свою енергію, у ній відбуваються переходи з поглинанням енергії від поля, або передачею енергії полю. Імовірності таких процесів дозволяє визначити часова теорія збурень.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.