Рівняння в повних диференціалах

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння в повних диференціалах (англ. exact differential equation, total differential equation) — різновид звичайного диференціального рівняння, який широко використовується в фізиці і інженерії.

Визначення[ред.ред. код]

Маємо однозв'язну область і відкриту підмножину D в R2 і дві неперервні в D функції I та J, тоді неявне звичайне диференціальне рівняння першого порядку у вигляді

I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!

називають Рівняння в повних диференціалах, якщо існує неперервно-диференційовна функція F, яку звуть функція потенціалу, така що

\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = I

і

\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = J.

Назва «рівняння в повних диференціалах» стосується повної похідної функції. Для функції F(x_0, x_1,...,x_{n-1},x_n), повна похідна щодо x_0 така

\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0}.

Приклад[ред.ред. код]

Функція

F(x,y) := \frac{1}{2}(x^2 + y^2)

є функцією потенціалу для диференціального рівняння

xx' + yy' = 0.\,

Існування функції потенціалу[ред.ред. код]

У фізичних застосуваннях функції I та J зазвичай не тільки неперервні, але й неперервно-диференційовні. Теорема Шварца надає нам необхідний критерій існування функції потенціалу. Для диференціальних рівнянь на однозв'язній множині критерій також достатній і ми отримуємо така теорему:

Диференціальне рівняння у формі:

I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!

де I та J неперервно-диференційовні на однозв'язній і відкритій підмножині D в R2, тоді функція потенціалу F існує тоді і тільки тоді

\frac{\partial I}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial J}{\partial x}(x, y).

Посилання[ред.ред. код]