Рівняння синус-Ґордона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння синус-Ґордона — це нелінійне гіперболічне рівняння з частинними похідними в 1 + 1 вимірі, що містить оператор д'Аламбера та синус невідомої функції. Спочатку його було розглянуто в XIX сторіччі в зв'язку з вивченням поверхонь постійної від'ємної кривизни. У 1970-х роках рівняння знову привернуло увагу через наявність у нього солітонних розвязків.

Історія[ред.ред. код]

Існує дві еквівалентні форми рівняння синус-Ґордона. В дійсних координатах простір-час, позначених (x,t), рівняння має вигляд:

\, \varphi_{tt}- \varphi_{xx} + \sin\varphi = 0.

У разі переходу до координат світлового конуса (u,v), близьких до асимптотичних координат, де


 u=\frac{x+t}2, \quad v=\frac{x-t}2,

рівняння набуває вигляду:

\varphi_{uv} = \sin\varphi.\,

Це вихідна форма рівняння синус-Ґордона, в якій його було розглянуто в XIX сторіччі в зв'язку з вивченням поверхонь постійної гаусової кривини K = −1, також званих псевдосферами. Оберемо систему координат, в якій координатна сітка u=constant, v=constant задається асимптотичними лініями, параметризованими довжиною дуги. Перша квадратична форма цієї поверхні в таких координатах матиме особливий вигляд:

 ds^2 = du^2 + 2\cos\varphi \,du\, dv + dv^2,\,

де \varphi — кут між асимптотичними лініями, і для другої квадратичної форми, L=N= 0. Тоді рівняння Петерсона — Кодацці, що відображає умову сумісності між першою і другою квадратичними формами, призводить до рівняння синус-Ґордона. Вивчення цього рівняння та відповідних перетворень псевдосфери в XIX столітті Б'янкі і Беклундом привели до відкриття перетворень Беклунда. Назва «рівняння синус-Ґордона» — це каламбур на тему відомого у фізиці рівняння Клейна — Ґордона:

 \varphi_{tt}- \varphi_{xx} + \varphi\ = 0.\,

Рівняння синус-Ґордона рівнянням Ейлера — Лагранжа для лагранжіану

\mathcal{L}_\text{sine–Gordon}(\varphi) := \frac{1}{2}\left(\varphi_t^2 - \varphi_x^2\right) -1 + \cos\varphi.

Застосовуючи у цьому лагранжіані розклад косинуса у ряд Тейлора

\cos(\varphi) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\varphi ^2)^n}{(2n)!}

його може бути записано як лагранжіан Клейна-Ґордона плюс члени вищого порядку:


\begin{align}
\mathcal{L}_\text{sine–Gordon}(\varphi) & = \frac{1}{2}\left(\varphi_t^2 - \varphi_x^2\right) - \frac{\varphi^2}{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!} \\
& = 2\mathcal{L}_\text{Klein–Gordon}(\varphi) + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!}.
\end{align}

Солітонні розвязки[ред.ред. код]

Цікава властивість рівняння синус-Ґордона — існування солітонних і багатосолітонних розв'язків.

Односолітонні розв'язки[ред.ред. код]

Рівняння синус-Ґордона має такі односолітонні розв'язки

\varphi(x, t) := 4 \arctan e^{m \gamma (x - v t) + \delta}\,

де

\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2}.

односолітонний розв'язок, для якого вибраний додатній корінь для  \gamma , називається кінком і являє собою вито́к щодо змінної  \varphi , який переводить один розв'язок  \varphi = 0 у суміжний  \varphi = 2 \pi . Стани  \varphi = 0 ( \textrm {mod} 2 \pi) відомі як вакуумні, оскільки вони є сталими розв'язками нульової енергії. Односолітонний розв'язок, в якому вибирається від'ємний корінь для \gamma називається антикінк. Форма односолітонних розв'язків може бути отримана за допомогою застосування перетворення Беклунда до тривіального (постійного вакуумного) розв'язку та інтегрування одержаних диференціальних рівнянь першого порядку:

{\varphi^\prime}_u = \varphi_u + 2\beta\sin\left(\frac{\varphi^\prime + \varphi}{2}\right),
{\varphi^\prime}_v = -\varphi_v + \frac{2}{\beta} \sin\left(\frac{\varphi^\prime - \varphi}{2}\right)\text{ ;де }\varphi = \varphi_0 = 0

Односолітонні розв'язки можуть бути візуалізовані за допомогою синус-ґордонівской моделі пружної стрічки. Вважатимемо вито́к пружної стрічки за годинниковою стрілкою (лівогвинтовий) за кінк з топологічним зарядом  \vartheta_ {\textrm {K}} =- 1 . Альтернативний вито́к проти годинникової стрілки (правогвинтовий) з топологічним зарядом  \vartheta_ {\textrm {AK}} = +1 буде антикінком.

Двосолітонний розв'язок[ред.ред. код]

Багатосолітонні розв'язки можуть бути отримані за допомогою застосування перетворення Беклунда до односолітонного розвязку, як пропонується ґратками Б'янкі, відповідної результатам перетворення. Двосолітонний розв'язок рівняння синус-Ґордона виявляє деякі характерні властивості солітонів. Біжучі синус-ґордонівські кінки та/або антикінки проходять один крізь одного як повністю проникні, і єдиний спостережуваний ефект — фазовий зсув. Оскільки солітони у зіткненнях зберігають свою швидкість і форму, такий вид взаємодії називається пружним зіткненням.

Інші цікаві двосолітонні розв'язки виникають з можливості спареної кінк-антикінкової поведінки, відомої як брізер. Відомо три типи брізерів: стоячий брізер, біжучий високоамплітудний брізер і біжучий низькоамплітудний брізер.

Трисолітонні розвязки[ред.ред. код]

Трисолітонні зіткнення між біжучим кінками і стоячим брізером або біжучим антикінком і стоячим брізером призводять до фазового зсуву стоячого брізера. У процесі зіткнення між рухомим кінком і стоячим брізером зсув останнього  \Delta_ {\textrm {B}} дається співвідношенням:

\Delta_B =\frac{2\textrm{arctanh}\sqrt{(1-\omega^{2})(1-v_\text{K}^2)}}{\sqrt{1-\omega^{2}}}

де  v_\text {K}  — швидкість кінка, а  \omega  — частота брізера. Якщо координата стоячого брізера до зіткнення —  x_{0} , то після зіткнення вона стане  x_0\Delta_\text {B} .


Пов'язані рівняння[ред.ред. код]

Рівняння шінус-Ґордона:

\varphi_{xx}- \varphi_{tt} = \sinh\varphi.\,

Це рівняння Ейлера-Лагранжа для лагранжіану

\mathcal{L}={1\over 2}\left(\varphi_t^2 - \varphi_x^2\right) - \cosh\varphi.\,

Інше рівняння, тісно повязане з рівнянням синус-Ґордона, — це еліптичне рівняння синус-Ґордона:

\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = \sin\varphi,\,

де \varphi — функція змінних змінних x та y. Це вже не солітонне рівняння, але воно має багато схожих властивостей, оскільки пов'язане з рівнянням синус-Ґордона аналітичним продовженням (або ж поворотом Віка) y=it.

Еліптичне рівняння шінус-Ґордона може бути означене аналогічним чином. Узагальнення дається теорією поля Тоди.

Квантова версія[ред.ред. код]

У квантовій теорії поля модель синус-Ґордона містить параметр, який може бути ототожнений зі сталою Планка, спектр частинок складається з солітону, антісолітону і скінченного (можливо, нульового) числа брізерів. Число брізерів залежить від цього параметра. Численні народження частинок скорочуються на рівняннях руху. Квазікласичне квантування моделі синус-Ґордона було здійснено Людвігом Фаддеєвим і Володимиром Корепіним[1]. Точну квантову матрицу розсіювання відкрито Олександром Замолодчіковим. Ця модель s-дуальна моделі Тіррінґа.

У скінченому об'ємі та на промені[ред.ред. код]

Модель синус-Ґордона також розглядають на колі, відрізку прямої або промені. Можливо добрати граничні умови, які зберігають інтегрованість цієї моделі. На промені спектр частинок містить граничні стани окрім солітонів і брізерів.

Суперсиметричні моделі синуса-Ґордона[ред.ред. код]

Суперсиметричний аналог моделі синус-Ґордона також існує. Для нього також може бути знайдено граничні умови, що зберігають інтегрованість.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Physics Reports том 42 (1), стор 1-87, червень 1978

Джерела[ред.ред. код]

  • Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — М.: Мир, 1985. — 416 с.
  • Polyanin AD, Zaitsev VF. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.