Рівняння синус-Ґордона

Рівняння синус-Гордона — це нелінійне гіперболічне рівняння з частинними похідними в 1 + 1 вимірі, що містить оператор д'Аламбера та синус невідомої функції. Спочатку його було розглянуто в XIX сторіччі в зв'язку з вивченням поверхонь постійної від'ємної кривизни. У 1970-х роках рівняння знову привернуло увагу через наявність у нього солітонних розвязків.

Історія

Існує дві еквівалентні форми рівняння синус-Гордона. В дійсних координатах простір-час, позначених (x,t), рівняння має вигляд:

$\, \varphi_{tt}- \varphi_{xx} + \sin\varphi = 0.$

У разі переходу до координат світлового конуса (u,v), близьких до асимптотичних координат, де

$u=\frac{x+t}2, \quad v=\frac{x-t}2,$

рівняння набуває вигляду:

$\varphi_{uv} = \sin\varphi.\,$

Це вихідна форма рівняння синус-Гордона, в якій його було розглянуто в XIX сторіччі в зв'язку з вивченням поверхонь постійної гаусової кривизни K = −1, також званих псевдосферами. Оберемо систему координат, в якій координатна сітка u=constant, v=constant задається асимптотичними лініями, параметризованими довжиною дуги. Перша квадратична форма цієї поверхні в таких координатах матиме особливий вигляд:

$ds^2 = du^2 + 2\cos\varphi \,du\, dv + dv^2,\,$

де φ- кут між асимптотичними лініями, і для другої квадратичної форми, L=N= 0. Тоді рівняння Петерсона — Кодацці, що відображає умову сумісності між першою і другою квадратичними формами, призводить до рівняння синус-Гордона. Вивчення цього рівняння та відповідних перетворень псевдосфери в XIX столітті Б'янкі і Беклундом привели до відкриття перетворень Беклунда. Назва «рівняння синус-Гордона» — це каламбур на тему відомого у фізиці рівняння Клейна-Гордона:

$\varphi_{tt}- \varphi_{xx} + \varphi\ = 0.\,$

Рівняння синус-Гордона є рівнянням Ейлера-Лагранжа для лагранжіану

$\mathcal{L}_\text{sine–Gordon}(\varphi) := \frac{1}{2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) -1 + \cos\varphi.$

Застосовуючи у цьому лагранжіані розклад косинуса у ряд Тейлора

$\cos(\varphi) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\varphi ^2)^n}{(2n)!}$

його може бути записано як лагранжіан Клейна-Гордона плюс члени вищого порядку:

$\begin{align} \mathcal{L}_\text{sine–Gordon}(\varphi) & = \frac{1}{2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \frac{\varphi^2}{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!} \\ & = 2\mathcal{L}_\text{Klein–Gordon}(\varphi) + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!}. \end{align}$

Солітонні розвязки

Цікава властивість рівняння синус-Гордона — існування солітонних і багатосолітонних розв'язків.

Односолітонні розв'язки

Рівняння синус-Гордона має такі односолітонні розв'язки

$\varphi_\text{soliton}(x, t) := 4 \arctan e^{m \gamma (x - v t) + \delta}\,$

де

$\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2}.$

односолітонний розвязок, для якого вибраний додатній корінь для $\gamma$, називається кінком і являє собою вито́к щодо змінної $\varphi$, який переводить один розвязок $\varphi = 0$ у суміжний $\varphi = 2 \pi$. Стани $\varphi = 0 ( \textrm {mod} 2 \ pi)$ відомі як вакуумні, оскільки вони є сталими розвязками нульової енергії. Односолітонний розв'язок, в якому вибирається від'ємний корінь для $\gamma$ називається антикінк. Форма односолітонних розв'язків може бути отримана за допомогою застосування перетворення Беклунда до тривіального (постійного вакуумного) розв'язку та інтегрування одержаних диференціальних рівнянь першого порядку:

${\varphi^\prime}_u = \varphi_u + 2\beta\sin\left(\frac{\varphi^\prime + \varphi}{2}\right),$

${\varphi^\prime}_v = -\varphi_v + \frac{2}{\beta} \sin\left(\frac{\varphi^\prime - \varphi}{2}\right)\text{ ;де }\varphi = \varphi_0 = 0$

Односолітонні розв'язки можуть бути візуалізовані за допомогою синус-гордонівской моделі пружної стрічки. Вважатимемо вито́к пружної стрічки за годинниковою стрілкою (лівогвинтовий) за кінк з топологічним зарядом $\vartheta_ {\textrm {K}} =- 1$. Альтернативний вито́к проти годинникової стрілки (правогвинтовий) з топологічним зарядом $\vartheta_ {\textrm {AK}} = +1$ буде антикінком.

Двосолітонний розв'язок

Багатосолітонні розв'язки можуть бути отримані за допомогою застосування перетворення Беклунда до односолітонного розвязку, як пропонується ґратками Б'янкі, відповідної результатам перетворення. Двосолітонний розв'язок рівняння синус-Гордона виявляє деякі характерні властивості солітонів. Біжучі синус-гордонівські кінки та/або антикінки проходять один крізь одного як повністю проникні, і єдиний спостережуваний ефект — фазовий зсув. Оскільки солітони у зіткненнях зберігають свою швидкість і форму, такий вид взаємодії називається пружним зіткненням.

Інші цікаві двосолітонні розв'язки виникають з можливості спареної кінк-антикінкової поведінки, відомої як дихун або брізер. Відомо три типи брізерів: стоячий дихун, біжучий високоамплітудний дихун і біжучий низькоамплітудний дихун.

Трисолітонні розвязки

Трисолітонні зіткнення між біжучим кінками і стоячим дихуном або біжучим антикінком і стоячим дихуном призводять до фазового зсуву стоячого дихуна. У процесі зіткнення між рухомим кінком і стоячим дихуном зсув останнього $\Delta_ {\textrm {B}}$ дається співвідношенням:

$\Delta_B =\frac{2\textrm{arctanh}\sqrt{(1-\omega^{2})(1-v_\text{K}^2)}}{\sqrt{1-\omega^{2}}}$

де $v_\text {K}$ — швидкість кінка, а $\omega$ — частота дихуна. Якщо координата стоячого дихуна до зіткнення — $x_{0}$, то після зіткнення вона стане $x_0\Delta_\text {B}$.

Пов'язані рівняння

Рівняння шінус-Гордона:

$\varphi_{xx}- \varphi_{tt} = \sinh\varphi.\,$

Це рівняння Ейлера-Лагранжа для лагранжіану

$\mathcal{L}={1\over 2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \cosh\varphi.\,$

Інше рівняння, тісно повязане з рівнянням синус-Гордона, — це еліптичне рівняння синус-Гордона:

$\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = \sin\varphi,\,$

де $\varphi$ — функція змінних змінних x та y. Це вже не солітонне рівняння, але воно має багато схожих властивостей, оскільки пов'язане з рівнянням синус-Гордона аналітичним продовженням (або ж поворотом Віка) y = it.

Еліптичне рівняння шінус-Гордона може бути означене аналогічним чином. Узагальнення дається теорією поля Тоди.

Квантова версія

У квантовій теорії поля модель синус-Гордона містить параметр, який може бути ототожнений зі сталою Планка, спектр частинок складається з солітону, антісолітону і скінченного (можливо, нульового) числа дихунів. Число дихунів залежить від цього параметра. Численні народження частинок скорочуються на рівняннях руху. Квазікласичне квантування моделі синус-Гордона було здійснено Людвігом Фаддеєвим і Володимиром Корепіним. Точну квантову матрицу розсіювання відкрито Олександром Замолодчіковим. Ця модель s-дуальна моделі Тіррінґа.

У скінченому об'ємі та на промені

Модель синус-Гордона також розглядають на колі, відрізку прямої або промені. Можливо добрати граничні умови, які зберігають інтегрованість цієї моделі. На промені спектр частинок містить граничні стани окрім солітонів і дихунів.

Суперсиметричні моделі синуса-Гордона

Суперсиметричний аналог моделі синус-Гордона також існує. Для нього також може бути знайдено граничні умови, що зберігають інтегрованість.

Див. також

• Дихун
• Солітон

Джерела

• Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — М.: Мир, 1985. — 416 с.
• Polyanin AD, Zaitsev VF. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.