Рівняння четвертого степеня

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції y=x^4-0,5x^3-5x^2+2x+4\,\quad

У математиці рівняння четвертого степеня є результатом прирівнювання многочлена четвертого степеня до нуля. Воно має такий загальний вигляд

\ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,

де \ a\ne 0.

Рівняння четвертого степеня є рівнянням найвищого степеня, що дозволяє подання загального розв'язку у радикалах.

Історія[ред.ред. код]

Лодовіко Феррарі

Рівняння четвертого степеня було вперше розглянуто математиками Індії між 400 до н. е. і 200 н. е.

Лодовіко Феррарі першим відкрив розв'язок рівнянь четвертого степеня (1540), проте його робота мала один недолік: він спирався на розв'язок кубічного рівняння, яким він не володів, тому цей розв'язок не було опубліковано[1]. Цей розв'язок було опублікувано разом із розв'язком кубічного рівняння його наставником Джироламо Кардано у книзі «Ars Magna» (1545).

Розв'язок рівнянь вищих степенів (від п'ятого) у загальному випадку не можна подати в радикалах. Але недоведеність цього факту протягом деякого часу підбурювала вчених шукати такі розв'язки. 1824 року було опубліковано теорему Абеля-Руффіні, яка доводила неможливість подати корені рівнянь вищих степенів через радикали у загальному випадку[2].

Застосування[ред.ред. код]

Поліноми високих степенів часто виникають у проблемах математичних методів оптимізації, де, зокрема, доводиться розглядати поліноми четвертого степеня, хоча і не дуже часто.

Рівняння четвертого степеня часто виникають у комп'ютерній графіці і при обчисленні рей-трейсингу (обтікання променів) проти торичних поверхонь, а також поверхонь четвертого порядку і лінійчастих поверхонь[3].

Іншою типовою задачею, у процесі розв'язання якої виникає рівняння четвертого степеня, є пошук перетину двох еліпсів, заданих неканонічно.

Досить часто виникає потреба розв'язувати рівняння четвертого степеня у задачах, які полягають у пошуку умов стійкості динамічних систем. Це пов'язано з тим, що потрібно шукати власні значення матриць монодромії вищезгаданих систем, що у випадку матриць 4 на 4 рівнозначно розв'язанню деякого рівняння четвертого степеня.

Програмна версія стійкого розв'язку рівняння четвертого степеня наведена у Graphics Gems[4]

Розв'язання рівняння четвертого степеня[ред.ред. код]

Окремі випадки[ред.ред. код]

Нульовий вільний член[ред.ред. код]

Якщо \ a_4=0, то один з коренів \ x=0, а інші можна знайти, поділивши все рівняння на x,\quad після чого отримавши кубічне рівняння,

a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0\quad

розв'язати його і знайти решту коренів.

Очевидні корені: 1 і −1[ред.ред. код]

Згідно з теоремою Вієта, рівняння \ a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0

  • має корінь 1, якщо \ a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0. Поділивши його на \ (x-1), отримавши кубічне рівняння, продовжити шукати корені.
  • має корінь -1, якщо \ a_0-a_1+a_2-a_3+a_4=0. Тоді, його можна поділити на \ (x+1), і розв'язати кубічне рівняння.

Біквадратні рівняння[ред.ред. код]

Графік функції y=x^4-5x^2+4\,\quad. Поліном четвертого степеня, що стоїть у правій частині, є біквадратичним і має симетричні корені: 1 і −1, 2 і −2.

Рівняння четвертого степеня, у якому a3 і a1 дорівнюють нулю, набуває вигляду:

\ a_0x^4+a_2x^2+a_4=0

Його називають біквадратним рівнянням і застосувавши заміну \ z=x^2, перетворимо його на квадратне рівняння

\ a_0z^2+a_2z+a_4=0

яке має корені:

\ z={{-a_2\pm\sqrt{a_2^2-4a_0a_4}} \over {2a_0}}

Використавши обидва значення змінної z, отримаємо чотири корені x вихідного рівняння:

\ x_1=+\sqrt{z_1}
\ x_2=-\sqrt{z_1}
\ x_3=+\sqrt{z_2}
\ x_4=-\sqrt{z_2}

Якщо серед знайдених чисел z є від'ємні або комплексні числа, то деякі з коренів вихідного рівняння будуть комплексними.

Квазісиметричні рівняння[ред.ред. код]

Загальний вигляд рівняння:

\ x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+m^2=0, де \ m = a_3/a_1. Це рівняння можна розв'язати таким способом:

Поділимо обидві частини рівняння на \ x^2, отримаємо

\ x^2+a_1x+a_2+a_3/x+m^2/x^2=0

\ (x^2+m^2/x^2)+a_1(x+m/x)+a_2=0

після цього виконаємо заміну:

\ z=x + m/x.

Отримаємо:

\ z^2+a_1z+(a_2-2m)=0.

Розв'язком цього рівняння є 2 корені \ z_1, z_2.

Корені початкового рівняння можна дістати, розв'язавши рівняння:

\ x^2 - z_1 x+m=0.

та

\ x^2 - z_2 x+m=0.

Квазісиметричні рівняння четвертого степеня задовольняють таким умовам (вони випливають з формули Вієта): нехай x_1\quad, x_2\quad, і x_3\quad,x_4\quad — корені рівняння, тоді:

  • x_1x_2=m\quad;
  • x_3x_4=m\quad;
  • x_1x_2x_3x_4=m^2\quad.

Загальний випадок, метод Феррарі[ред.ред. код]

Докладніше: Метод Феррарі

Канонізація рівняння[ред.ред. код]

Нехай потрібно розв'язати рівняння четвертого степеня

 A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0 \qquad\qquad (1')

Спочатку позбавимося члена x3. Для цього поділимо обидві частини на A і зробимо підстановку

 x = u - {B \over 4 A} \quad.

Перепозначивши коефіцієнти при u отримаємо рівняння

 u^4 + \alpha u^2 + \beta u + \gamma = 0 \qquad\qquad (1)

яке називається канонічним рівнянням четвертого степеня.

Якщо \beta=0\quad, то ми отримаємо біквадратне рівняння, яке легко розв'язується.

Розв'язок Феррарі[ред.ред. код]

Замість u4 виділимо повний квадрат (u2 + α)2, отримаємо

 (u^2 + \alpha)^2= \alpha u^2 + \alpha^2 - \beta u - \gamma . \qquad\qquad (2)

Введемо нову змінну y для утворення повного квадрата у в лівій частині (2), отримаємо

 (u^2 + \alpha + y)^2 = (\alpha + 2 y) u^2 - \beta u + (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma). \qquad\qquad (3)

Виберемо змінну y так, щоб у правій частині рівності (3) утворився повний квадрат. Це станеться, якщо в правій частині дискримінант квадратного рівняння відносно u дорівнюватиме нулю:

\ (-\beta)^2 - 4 (2 y + \alpha) (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma) = 0.

Потрібно розв'язати це рівняння щодо параметра y. Звівши множники, отримаємо кубічне рівняння:

 y^3 + {5 \over 2} \alpha y^2 + (2 \alpha^2 - \gamma) y + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0. \qquad\qquad (4)
Розв'язання похідного кубічного рівняння[ред.ред. код]

Рівняння (4) є похідним кубічним рівнянням від рівняння четвертого степеня. Зробивши заміну

 y = v - {5 \over 6} \alpha.

Та перепозначивши його коефіцієнти, отримаємо канонічне кубічне рівняння:

 v^3 + P v + Q = 0. \qquad\qquad (5)

Нас задовольнить будь-який розв'язок рівняння (5).

Позначимо: U=\sqrt[3]{-{Q\over 2}\pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}}\quad
(взято з кубічне рівняння),

візьмемо такий розв'язок кубічного рівняння (4):

y = - {5 \over 6} \alpha + {P\over 3U} - U \qquad\qquad (6)
Видобування кореня з обох частин і завершення розв'язування[ред.ред. код]

Підставивши повний квадрат в праву частину, отримаємо повні квадрати з обох боків:

(u^2 + \alpha + y)^2 = \left( \left(\sqrt{\alpha + 2 y}\right)u - {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right)^2 \qquad\qquad (7).
Зауваження: Якщо β ≠ 0 тоді α + 2y ≠ 0. А якщо β = 0, то ми отримаємо біквадратне рівняння, що було розглянуте вище.

Отже:

u^2 + \alpha + y = \pm\left( \left(\sqrt{\alpha + 2 y}\right)u - {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right) \qquad\qquad (7').

Зведемо подібні доданки при u:

u^2 + \left(\mp_s \sqrt{\alpha + 2 y}\right)u + \left( \alpha + y \pm_s {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right) = 0 \qquad\qquad (8).
Зауваження: Знаки \ \pm_s, \mp_s є величинами залежними.

Рівняння (8) є квадратним рівнянням щодо u. Його розв'язок має вигляд

u={\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2y \pm_s {2\beta \over \sqrt{\alpha + 2 y}} \right)} \over 2}.

Розв'язок вихідного рівняння має вигляд:

x=-{B \over 4A} + {\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2y \pm_s {2\beta \over \sqrt{\alpha + 2 y}} \right)} \over 2}. \qquad\qquad (8')
Зауваження: Два знаки \ \pm_s отримані з рівняння (7') є залежними, тому є одинаковими, а знак \ \pm_t — незалежний від них.

Інші методи[ред.ред. код]

Швидке розв'язання (природне)[ред.ред. код]

Попереднє розв'язання рівняння четвертого степеня характеризується досить специфічними і неочевидними підстановками, що робить його важким для запам'ятовування.

Розглянемо інше розв'язання, яке є природнішим. Ідея полягає у тому, що потрібно розкласти поліном четвертого степеня у добуток квадратичних поліномів. Нехай


  \begin{array}{lcl}
   0 = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e & = & (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s) \\
   & = & x^4 + (p + r)x^3 + (q + s + pr)x^2 + (ps + qr)x + qs
  \end{array}
 \quad

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x:


  \begin{array}{lcl}
   b & = & p + r \\
   c & = & q + s + pr \\
   d & = & ps + qr \\
   e & = & qs
  \end{array}
 \quad

Цю систему важче розв'язати, ніж здається, проте якщо почати з канонічного рівняння четвертого степеня, де b = 0\quad, ми отримаємо r = -p\quad, і:


  \begin{array}{lcl}
   c + p^2 & = & s + q \\
   d/p & = & s - q \\
   e & = & sq
  \end{array}
 \quad

Тепер можна легко виключити s\quad і q\quad:


  \begin{array}{lcl}
   (c + p^2)^2 - (d/p)^2 & = & (s + q)^2 - (s - q)^2 \\
   & = & 4sq \\
   & = & 4e
  \end{array}
 \quad

Якщо ми позначимо P = p^2\quad, то це рівняння перетвориться у кубічне рівняння:

P^3 + 2cP^2 + (c^2 - 4e)P - d^2 = 0\,\quad

Нехай ми отримали p\quad, тоді:


  \begin{array}{lcl}
  r & = & -p \\
 2s & = & c + p^2 + d/p \\
 2q & = & c + p^2 - d/p
  \end{array}
 \quad

Підставивши отримані параметри p, q, r, s у квадратичні поліноми і розв'язавши їх, ми отримаємо розв'язок вихідного рівняння четвертого степеня. Якщо початкове рівняння було неканонічним, то треба здійснити зворотну заміну.

Чисельний (неаналітичний) розв'язок[ред.ред. код]

Досить ефективним у розв'язанні рівнянь четвертого степеня є метод парабол, що знаходить не лише дійсні (на відміну від методу бісекцій), але й комплексні значення коренів, до того ж цей метод без особливих труднощів розв'язує також рівняння з комплексними коефіцієнтами. Розглянемо цей метод.

Нехай заданий поліном f(x)=a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4\quad, корені якого треба знайти.

Знайдемо один з цих коренів. Візьмемо три довільні (початкові) точки x_{-1}, x_0, x_1\quad з комплексної площини, єдина вимога: вони мають бути всі різними, а також різним має бути значення полінома у цих точках (часто беруть точки −1, 0, 1). Розглянемо такі 3 точки: (x_{-1},f(x_{-1})), (x_0,f(x_0)), (x_1,f(x_1))\quad. Оскільки через будь-які 3 точки з різними абсцисами можна провести параболу (яка, щоправда, може вироджуватися у пряму), то проведемо цю параболу. Нехай її рівняння має вигляд ax^2+bx+c\quad. Прирівнявши це рівняння до нуля, ми отримаємо корені z_1, z_2\quad (які, взагалі кажучи, є комплексними числами, а тому завжди існують). Візьмемо за x_2\quad те з чисел z_1, z_2\quad, яке найменше відрізняється (за модулем) від x_1\quad. Надалі розглядатимемо трійку чисел x_0, x_1, x_2\quad. І так далі. Варто сказати, що послідовність (x_n)\quad досить швидко збігається до одного з коренів: відшукання кореня із точністю у 10 значущих цифр може бути досягнуто за 20 кроків.

Після того, як ми знайшли один з коренів (позначимо його через \overline{x}\quad), слід поділити весь поліном на двочлен x-\overline{x}\quad. Після цього ми отримаємо кубічний поліном, для якого також можна знайти один з коренів методом парабол. Після відповідного ділення ми отримаємо квадратичний поліном, після розв'язання якого ми отримаємо решту коренів початкового рівняння.

Внаслідок універсальності цього методу, його можна застосовувати не тільки для розв'язання рівнянь четвертого степеня, а й для рівнянь вищих степенів.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. [1]
  2. Stewart, Ian, Galois Theory, Third Edition (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
  3. [2]
  4. [3]

Джерела[ред.ред. код]