Рівність Парсеваля

Рівність Парсеваля — аналог теореми Піфагора у векторних просторах з скалярним добутком. Початково подібне твердження для простору періодичних функцій, було сформульоване Парсевалем у 1799 році.

Формулювання

Якщо X — нормований сепарабельний векторний простір зі скалярним добутком $\langle \cdot, \cdot \rangle$ і $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ — відповідна йому норма і $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$ — ортонормована система в X , тобто

$\langle e_m, e_n\rangle = \begin{cases}1&\mbox{if}\ m=n\\ 0&\mbox{if}\ m \not= n.\end{cases}$

то рівністю Парсеваля для елемента $x \in X$ називається рівність

$\|x\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}\left|\langle x,e_k\rangle\right|^2.$

Виконання рівності Парсеваля для даного елементу $x \in X$ є необхідною і достатньою умовою того, щоб ряд Фур'є цього елементу по ортонормованій системі $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$ сходився до самого елемента x по нормі простору X. Виконання рівності Парсеваля для будь-якого елемента $x \in X$ є необхідною і достатньою умовою для того, щоб ортогональна система $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$ була повною системою в X.

Гільбертові простори

Нехай дано сепарабельний гільбертів простір $(H,\langle \cdot, \cdot\rangle)$, де $\langle \cdot, \cdot \rangle$ — скалярний добуток, визначений на множині $H$. Тоді якщо $\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$ — ортонормований базис в $H$, то рівність Парсеваля виконується для всіх $x \in H.$

Також, якщо $x, y \in H.$ і $a_n = \langle x, a_n \rangle$ і $b_n = \langle x, b_n \rangle,$ то:

$\langle x, y\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \overline{b_n}$

Рівність Парсеваля узагальнюється і на випадок несепарабельних гільбертових просторів: якщо $\{e_k\}_{k \in B}$ (для деякої множини індексів B), є повною ортонормованою системою гільбертового простору X, то для будь-якого елементу $x \in X$ справедлива рівність Парсеваля:

$\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{v\in B}\left|\langle x,v\rangle\right|^2.$

Див. також

• Нерівність Бесселя

Посилання

• Вагін П., Остудін Б., Шинкаренко Г. Основи функціонального аналізу