Рівність Парсеваля

Рівність Парсеваля — аналог теореми Піфагора у векторних просторах з скалярним добутком. Початково подібне твердження для простору періодичних функцій, було сформульоване Парсевалем у 1799 році.

Неформально, рівність стверджує, що сума квадратів коефіцієнтів Фур'є функції дорівнює інтегралу квадрата функції,

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx,$

де коефіцієнти Фур'є c_n для ƒ задаються так

$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx.$

Формулювання

Якщо X — нормований сепарабельний векторний простір зі скалярним добутком $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ і $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ — відповідна йому норма і $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — ортонормована система в X , тобто

$\langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ m=n\\0&{\mbox{if}}\ m\not =n.\end{cases}}$

то рівністю Парсеваля для елемента $x\in X$ називається рівність

$\|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}.$

Виконання рівності Парсеваля для даного елементу $x\in X$ є необхідною і достатньою умовою того, щоб ряд Фур'є цього елементу по ортонормованій системі $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ сходився до самого елемента x по нормі простору X. Виконання рівності Парсеваля для будь-якого елемента $x\in X$ є необхідною і достатньою умовою для того, щоб ортогональна система $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ була повною системою в X.

Гільбертові простори

Нехай дано сепарабельний гільбертів простір $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$, де $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — скалярний добуток, визначений на множині $H$. Тоді якщо $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — ортонормований базис в $H$, то рівність Парсеваля виконується для всіх $x\in H.$

Також, якщо $x,y\in H.$ і $a_{n}=\langle x,a_{n}\rangle$ і $b_{n}=\langle x,b_{n}\rangle ,$ то:

$\langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}$

Рівність Парсеваля узагальнюється і на випадок несепарабельних гільбертових просторів: якщо $\{e_{k}\}_{k\in B}$ (для деякої множини індексів B), є повною ортонормованою системою гільбертового простору X, то для будь-якого елементу $x\in X$ справедлива рівність Парсеваля:

$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{v\in B}\left|\langle x,v\rangle \right|^{2}.$

Див. також

• Нерівність Бесселя

Посилання

• Вагін П., Остудін Б., Шинкаренко Г. Основи функціонального аналізу^{[недоступне посилання з квітня 2019]}