Рівність Парсеваля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівність Парсеваля — аналог теореми Піфагора у векторних просторах з скалярним добутком. Початково подібне твердження для простору періодичних функцій, було сформульоване Парсевалем у 1799 році.

Формулювання[ред.ред. код]

Якщо X — нормований сепарабельний векторний простір зі скалярним добутком \langle \cdot, \cdot \rangle і \|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle} — відповідна йому норма і \{e_k\}_{k=1}^{\infty} — ортонормована система в X , тобто

\langle e_m, e_n\rangle = \begin{cases}1&\mbox{if}\ m=n\\ 0&\mbox{if}\ m \not= n.\end{cases}

то рівністю Парсеваля для елемента x \in X називається рівність

\|x\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}\left|\langle x,e_k\rangle\right|^2.

Виконання рівності Парсеваля для даного елементу x \in X є необхідною і достатньою умовою того, щоб ряд Фур'є цього елементу по ортонормованій системі \{e_k\}_{k=1}^{\infty} сходився до самого елемента x по нормі простору X. Виконання рівності Парсеваля для будь-якого елемента x \in X є необхідною і достатньою умовою для того, щоб ортогональна система \{e_k\}_{k=1}^{\infty} була повною системою в X.

Гільбертові простори[ред.ред. код]

Нехай дано сепарабельний гільбертів простір (H,\langle \cdot, \cdot\rangle), де \langle \cdot, \cdot \rangleскалярний добуток, визначений на множині H. Тоді якщо \{e_k\}_{k=1}^{\infty}ортонормований базис в H, то рівність Парсеваля виконується для всіх x \in H.

Також, якщо x, y \in H. і a_n = \langle x, a_n \rangle і b_n = \langle x, b_n \rangle, то:

\langle x, y\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \overline{b_n}

Рівність Парсеваля узагальнюється і на випадок несепарабельних гільбертових просторів: якщо \{e_k\}_{k \in B} (для деякої множини індексів B), є повною ортонормованою системою гільбертового простору X, то для будь-якого елементу x \in X справедлива рівність Парсеваля:

\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{v\in B}\left|\langle x,v\rangle\right|^2.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]