Рівні Ландау

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівні Ландау — квантовані енергетичні рівні зарядженої частки в магнітному полі.

Фізична природа[ред.ред. код]

Класична заряджена частка в однорідному магнітному полі закручується, рухаючись по спіралі. Таким чином рух класичної частки в магнітному полі обмежений просторово в напрямку перпендикулярному до вектора магнітної індукції. Аналогічне обмеження існує в квантовій механіці. Внаслідок локалізації руху частки, її енергетичні рівні квантуються. Це квантування лежить в основі квантовомеханічної теорії діамагнетизму, яка була розвинута на початку 30-х років XX-го століття радянським фізиком Левом Давидовичем Ландау. Відповідні дискретні рівні енергії квантової зарядженої частки в однорідному магнітному полі отримали назву рівнів Ландау.

Рівні Ландау важливі для розуміння діамагнетизму, проявляються в квантовому ефекті Хола, осциляціях магнітопровідності тощо.

Постановка проблеми[ред.ред. код]

Розглянемо двовимірну систему невзаємодіючих часток із зарядом q та спіном S розташованій на замкненій системі A = L^2 в декартовій площині x-y. ДО цієї площини можна прикласти однорідне магнітне поле (індукцію) \mathbf{B} = \begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix} вздовж осі z. Використовуючи систему СГС, гамільтініан цієї системи можна подати у вигляді

\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}-q\hat{\mathbf{A}}/c)^2,

де \hat{\mathbf{p}} є канонічний оператор імпульсу а \hat{\mathbf{A}} — електромагнітний векторний потенціал, пов"язаний із магнітним полем:

\mathbf{B}=\mathbf{\nabla}\times \mathbf{A}.

Існує певна свобода, пов'язана з вибором векторного потенціалу для заданого магнітного поля. Проте, гамільтоніан системи інваріантний щодо цього вибору, шляхом добавляння довільного градієнтного (скалярного) поля, що тільки змінює загальну фазу хвильових функцій на величину відповідну до скалярного поля. Фізичні властивості не піддаються впливу під час вибору певної калібровки. Для простоти можна скористатися калібровкою Ландау:.

\hat{\mathbf{A}}=
\begin{pmatrix}0\\B{x} \\0
\end{pmatrix},

де B=|\mathbf{B}|. В рамках даної калібровки оператор Гамільтона буде:

\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + \frac{\hat{p}_y^2}{2m} - \frac{qB}{mc} \hat{x} \hat{p}_y + \frac{q^2B^2}{2mc^2} \hat{x}^2,

Оператор \hat{p}_y комутує із цим оператором Гамільтона оскільки оператор \hat{y} відсутній по умовах калібровки. Тому оператор \hat{p}_y може бути замінений своїми власними числами \hbar k_y. Цей гамільтоніан також може бути переписаний у простішій формі враховуючи циклотронну \omega_c = qB/mc:

\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_c^2 \left( \hat{x} - \frac{\hbar k_y}{m\omega_c} \right)^2.

Ось це і є остаточний гамільтоніан для квантового гармонічного осцилятора quantum harmonic oscillator, тільки трохи зміщений відносно системи координат на величину x_0=\frac{\hbar k_y}{m \omega_c}.

Розв'язок рівняння Шредінгера[ред.ред. код]

Стаціонарне рівняння Шредінгера для електрона в магнітному полі може бути записане у вигляді:

\! \left[-\frac{\hbar^2}{2m}
\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)+\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial y}-\frac{eB}{c}x\right)^2\right]\Psi_n(x,y,z)=E_n\Psi_n(x,y,z). \qquad ( 4 )

де \Psi_n(\overrightarrow{r})</math> — хвильова функція електрону, \! E_n — енергія та індекс \! n означає n-й рівень Ландау . Щоб розділити змінні в цьому рівнянні, розв'язок зручно шукати у вигляді добутку трьох функцій:

\Psi_n(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{L_zL_y}}e^{ik_zz}e^{ik_yy}\psi_{n,k_y}(x), \qquad ( 5 )

де \! L_z и \! L_y — розміри системи, \! k_z и \! k_y — хвильові вектори, індекс \! k_y у хвильової функції \! \psi_{n,k_y}(x) означає, що вона залежить від нього, як від параметру. Підставляючи \! ( 5 ) в \! ( 4 ) отримаємо одномірне рівняння для \! \psi_{n,k_y}(x)

\! \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-k_yl_H^2)^2\right]\psi_{n,k_y}(x)=\epsilon_n\psi_{n,k_y}(x). \qquad ( 6 )

Це рівняння — не що інше, як рівняння Шредінгера для квантового гармонічного осцилятора зі зсувом мінімуму потенціалу. Таким чином, розв'язок записується у вигляді:

\psi_{n,k_y}(x)=\frac{1}{\sqrt{2^nn!\pi^{1/2}l_H}}e^{-\frac{(x-k_yl_H^2)^2}{2l_H^2}}H_n\left(\frac{(x-k_yl_H^2)}{l_H}\right), \qquad ( 7 )

де  H_n(x) — поліном Ерміта порядку \! n.

Вплив електричного поля[ред.ред. код]

Тепер можна розглянути вплив електричного поля на енергетичний спектр електрона в магнітному полі. Для цього перепишемо рівняння \! ( 6 ) із врахуванням електричного поля \! \varepsilon, направленого по осі \! x

\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-k_yl_H^2)^2+e\varepsilon x\right]\psi_{n,k_y}(x)=E_{n,k_y}\psi_{n,k_y}(x), \qquad ( 8 )

котре після виділення повного квадрата може бути подане у вигляді

\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-X_{k_y})^2+e\varepsilon k_yl_H^2-\frac{m}{2}v_d^2\right]\psi_{n,k_y}(x)=E_{n,k_y}\psi_{n,k_y}(x), \qquad ( 9 )

де \! X_{k_y}=k_yl_H^2-\frac{v_d}{\omega_c} и \! v_d=c\frac{\varepsilon}{B}. Таким чином, ми бачимо, що електричне поле просто зсуває центр хвильової функції. Енегетичний спектр задається наступним виразом:


E_{n,k_y}=\hbar\left(n+\frac{1}{2}\right)+e\varepsilon X_{k_y}+\frac{m}{2}v_d^2. \qquad ( 10 )

Двомірний випадок[ред.ред. код]

У двомірному випадку рух по одній із осей (наприклад по осі z) квантоване. У цьому разі спектр електронів складається із еквідистантних рівнів (з відстанню між рівнями \hbar \omega_c, де \! \omega_c визначається із компоненти магнітного поля вздовж осі z). Енергія електрону є

E(n,m)=E_m+\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right), \qquad ( 11 )

де \! E_m — енергія електрону, пов'язана із рухом електрону вздовж осі z.

Джерела[ред.ред. код]

  • Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К.: Знання, 2009. — 559 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.

Посилання[ред.ред. код]

http://www.wsi.tu-muenchen.de/nextnano3/tutorial/2Dtutorial_bulkGaAs_LandauLevels.htm

Див. також[ред.ред. код]



Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.