Самоподібність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Крива Коха володіє властивістю нескінченної самоподібності при збільшенні зображення

Самоподібний об'єкт (в математиці) — об'єкт, який точно або наближено збігається з частиною себе самого (тобто ціле має ту ж форму, що й одна або більше частин).

Багато об'єктів реального світу, наприклад, берегові лінії, мають властивість статистичної самоподібності: їх частини статистично однорідні в різних шкалах виміру. Самоподібність є характеристичною властивістю фракталів.

Інваріантість щодо зміни шкали є однією з форм самоподібністі, коли при будь-якому наближенні знайдеться принаймні одна частина основної фігури, подібна до цілої фігури.

Визначення[ред.ред. код]

Компактний топологічний простір X самоподібний, якщо існує скінченна множина S, яка індексує набір несюр'єктивних гомеоморфізмів \{ f_s \}_{s\in S}, для яких:

X=\cup_{s\in S} f_s(X)

Якщо X\subset Y, то X називається самоподібним якщо існує єдина непорожня підмножина Y така, що вищенаведене рівняння виконується для \{ f_s \}_{s\in S}. У такому випадку:

\mathfrak{L}=(X,S,\{ f_s \}_{s\in S})

називається самоподібною структурою. Можна проітерувати дані гомеоморфізми так, що в результаті вийде система ітерованих функцій. Композиція функцій породжує алгебраїчну структуру моноїду. У випадку, якщо множина S містить всього два елементи, моноїд називається диадичним. Диадичний моноїд можна візуально представити у вигляді нескінченного бінарного дерева; взагалі, якщо множина S має p елементів, моноїд може бути представлений у вигляді p-адичного дерева.

Група автоморфізмів диадичного моноїду є модулярною; автоморфізми можуть бути візуалізовані як гіперболічної обертання бінарного дерева.

Приклади[ред.ред. код]

Самоподібність множини Мандельброта, збільшення точки Фейгенбаума, координати (-1.401155189...,0)
Зображення папороті з властивістю афінної самоподібності

Поняття самоподібності має важливе застосування в побудові комп'ютерних мереж, оскільки типовий мережевий потік володіє властивостями самоподібності. Наприклад, в телефонії, потоки пакетних даних майже статистично самоподобні. Наявність даної властивості означає, що прості моделі, що використовують розподіл Пуассона є неточними, і мережі, побудовані без урахування самоподібністі, можуть функціонувати в непередбачуваних режимах.

Рух цін на фондовому ринку також демонструє властивість самоподібністі, оскільки цілком обгрунтованим здається вважати графіки наближено самоповторюваними при зміні масштабу (скважності, періодичності).

Див. також[ред.ред. код]

Література (англ. мовою)[ред.ред. код]

  1. Benoît Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
  2. Leland et al. "On the self-similar nature of Ethernet traffic", IEEE/ACM Transactions on Networking, Volume 2, Issue 1 (February 1994)
  3. Benoit Mandelbrot (February 1999). "How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street". Scientific American. [1].

Посилання[ред.ред. код]