Секційна кривина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В рімановій геометрії, секційна кривина є однією із кривин ріманового многовиду. Секційна кривина Kp) залежить від вибору двовимірної площині σp в дотичному просторі в точці p. У двовимірному рімановому многовиді секційна кривина співпадає з гауссовою кривиною.

Секційна кривина повністю визначається тензором кривини.

Визначення[ред.ред. код]

Для ріманового многовиду та двох лінійно незалежних дотичних векторів X і Y в точці p (X,\ Y\in T_p M)

K(X,Y)={\langle R(X,Y)Y,X\rangle\over \langle X,X\rangle\langle Y,Y\rangle-\langle X,Y\rangle^2}

Тут R — тензор кривини Рімана. В локальних координатах[1]

K(X,Y)={R_{ijkl}T^{ij}T^{kl}\over (g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})T^{ij}T^{kl}},

де бівектор T^{nm}=X^nY^m-Y^nX^m.

Секційна кривина залежить від вибору двовимірної площини, але не залежить від векторів X і Y, які визначають цю площину.

Зокрема, якщо X і Y ортонормовані, то

K(X,Y)=\langle R(X,Y)Y,X\rangle

Теорема Топоногова про порівняння кутів[ред.ред. код]

Нехай в повному рімановому многовиді M всі секційні кривини K_\sigma \geqslant k=const. Тоді для будь-якого геодезичного трикутника  \triangle в M знайдеться на k-площині такий геодезичний трикутник  \triangle_k з тими ж довжинами сторін, що і у трикутника  \triangle, у якого кожний з кутів не буде перевищувати відповідного йому кута трикутника  \triangle[2].

Під k-площиною мається на увазі двовимірний многовид сталої кривини k — площина Лобачевського, сфера або евклідова площина.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія : Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995 . с. 213
  2. Топоногов В.А., Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу, Успехи математических наук. 1959. Том 54, №1, с. 87-130