Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множин, замкнена щодо операції зліченого об'єднання. Поняття сигма-алгебри має важливе значення для визначення мір множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.

Визначення

Кільцем множин називається система множин, замкнена стосовно операцій об'єднання, перетину, віднімання та симетричної різниці. Довільне кільце множин містить і порожню множину.

Одиницею кільця множин $\mathfrak{G}$ називається множина E, що належить до $\mathfrak{G}$ і для довільної множини $A \in \mathfrak{G}$ виконується:

$\ A \cap E = A$.

σ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин $A_1,\ldots,A_n,\ldots$ містить також їх об'єднання

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$.

δ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин $A_1,\ldots,A_n,\ldots$ містить також їх перетин:

$\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n$.

Таким чином, σ-алгеброю множин називається σ-кільце множин з одиницею, а δ-алгеброю множин — δ-кільце з одиницею. Однак, кожна σ-алгебра є також δ-алгеброю, і навпаки.

Властивості

Для довільної непорожньої системи множин $\mathfrak{G}$ існує неприводима (по відношенню до цієї системи) σ-алгебра $\mathfrak{B}(\mathfrak{G})$, що містить $\mathfrak{G}$ і міститься в довільній σ-алгебрі, що містить $\mathfrak{G}$.

Така σ-алгебра $\mathfrak{B}(\mathfrak{G})$ називається мінімальною.

Приклади

Найпростішим прикладом σ-алгебри є система всіх підмножин деякої множини A.

Борелівські множини (або В-множини) це множини на числовій прямій, що належать мінімальній σ-алгебрі над сукупністю всіх сегментів $[a; b]$.

Література

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа (вид. четверте). Москва: Наука. с. 544. ISBN 5-9221-0266-4. 

Див. також

• Алгебра множин
• Міра множини
• Фільтрація (випадкові процеси)