Сила інерції

Си́ла іне́рції — фіктивна сила, яку вводять для опису динаміки механічного руху в неінерційних системах відліку.

$\mathbf{F} = - m\mathbf{a}$,

де $\mathbf{F}$ — сила інерції, m — маса, $\mathbf{a}$ — прискорення, з яким рухається система координат.

На погляд спостерігача, який рухається з прискоренням, навколишні фізичні тіла здійснюють рухи, які не відповідають тим силам, що на них діють. Так, наприклад, коли потяг рушає з місця, спостерігачу, який сидить у вагоні, здається, що вокзал рушив у протилежний бік, хоча на нього не діють жодні сили.

Для того, щоб мати змогу застосовувати Ньютонівську механіку в неінерційній системі координат, вводяться фіктивні сили інерції, що діють у цій системі на всі тіла. Так, на погляд спостерігача у вагоні потягу, другий закон Ньютона виконується, якщо на вокзал діє сила -ma, де m — маса вокзалу, a — прискорення руху спостерігача.

Сила інерції в системі, що обертається

У системі, що обертається довкола осі, сила інерції набирає вигляд:

$(1) \qquad \mathbf{F} = - 2 m \boldsymbol\omega \times \mathbf{v} - m \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} ) - m \frac{d \boldsymbol\omega }{dt} \times \mathbf{r}$ ,

де $\boldsymbol\omega$ кутова швидкість, а v швидкість об'єкта в системі, що обертається.
Перший доданок у формулі (1) називається силою Коріоліса, ця сила перпендикулярна до швидкості. Другий доданок — це відцентрова сила, а третій враховує кутове прискорення неінерційної системи координат.

Виведення формул виходячи з класичної механіки

Координати і радіус-вектор

Нехай ми маємо інерційну систему координат $\{ x, y, z\}$, яку будемо вважати нерухомою і радіус-вектор від початку цієї системи координат до довільної точки простору позначимо великою буквою $\mathbf{R}$.
Одночасно будемо розглядати і рухому систему координат $\{x_1, x_2, x_3 \}$, початок координат якої $\mathbf{R}_0$ рухається з часом:

$(2) \qquad \mathbf{R}_0 = \mathbf{R}_0 (t)$

а координатні вектори $\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \}$ якої утворюють ортонормований базис, який якось обертається з часом:

$(3) \qquad \mathbf{a}_1 = \mathbf{a}_1 (t), \; \mathbf{a}_2 = \mathbf{a}_2 (t), \; \mathbf{a}_3 = \mathbf{a}_3 (t)$

Радіус-вектор $\mathbf{r}$ відносно початку рухомої системи координат можна розкласти за цим базисом, коефіцієнтами розкладу будуть координати рухомої системи координат:

$(4) \qquad \mathbf{r} = \mathbf{a}_1 x_1 + \mathbf{a}_2 x_2 + \mathbf{a}_3 x_3 = A \mathbf{x}$

Остання рівність — це запис формули (4) в матричній формі, матриця $A = A(t)$ складається з координат базисних векторів наступним чином:

$(5) \qquad A = \left ( \mathbf{a}_1 \mathbf{a}_2 \mathbf{a}_3 \right ) = \begin{bmatrix} a_{1x} & a_{2x} & a_{3x} \\ a_{1y} & a_{2y} & a_{3y} \\ a_{1z} & a_{2z} & a_{3z} \end{bmatrix}$

Як відомо з курсу лінійної алгебри, така матриця буде ортогональною, і обернена до неї матриця збігається з транспонованою. Дійсно, множачи матрицю $A$ зліва на її транспоновану $A^T$, одержимо матрицю Грамма, яка складається зі скалярних добутків:

$(6) \qquad A^T A = \begin{bmatrix} a_{1x} & a_{1y} & a_{1z} \\ a_{2x} & a_{2y} & a_{2z} \\ a_{3x} & a_{3y} & a_{3z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1x} & a_{2x} & a_{3x} \\ a_{1y} & a_{2y} & a_{3y} \\ a_{1z} & a_{2z} & a_{3z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1) & (\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2) & (\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_3) \\ (\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_1) & (\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2) & (\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_3) \\ (\mathbf{a}_3 \cdot \mathbf{a}_1) & (\mathbf{a}_3 \cdot \mathbf{a}_2) & (\mathbf{a}_3 \cdot \mathbf{a}_3) \end{bmatrix}$

а матриця Грамма дорівнює одиничній матриці оскільки наші базисні вектори взаємно ортогональні і мають одиничні довжини. Отже:

$(7) \qquad A^{-1} = A^T, \qquad A A^T = E = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Підсумовуючи сказане, запишемо радіус-вектор довільної точки простору через координати рухомої ситеми координат:

$(8) \qquad \mathbf{R} = A \mathbf{x} + \mathbf{R}_0$

Швидкість

Продиференціюємо формулу (8) по часу:

$(9) \qquad \dot \mathbf{R} = \dot A \mathbf{x} + A \dot \mathbf{x} + \dot \mathbf{R}_0$

Позначимо через $\mathbf{v}_0$ швидкість руху початку координат:

$(10) \qquad \mathbf{v}_0 = \dot \mathbf{R}_0$

Далі, середній доданок в формулі (8) є вектором швидкості точки з координатами $\{ x_1(t), x_2(t), x_3(t) \}$ відносно рухомої системи координат, позначимо її буквою $\mathbf{v}$:

$(11) \qquad \mathbf{v} = A \dot \mathbf{x} = \mathbf{a}_1 {d x_1 \over d t} + \mathbf{a}_2 {d x_2 \over d t} + \mathbf{a}_3 {d x_3 \over d t}$

Залишилося розібратися з першим доданком у формулі (9). Очевидно, що похідна матриці $A$ має бути пропорційною вектору кутової швидкості $\boldsymbol{\omega}$. Але як саме? Спробуємо записати таку матричну рівність:

$(12) \qquad \dot A = \Omega A$

де $\Omega$ — деяка матриця. Ясно, що ми завжди можемо записати (12), оскільки матриця $A$ невироджена і тому $\Omega$ однозначно знаходиться за відомою матрицею $A$ та її похідною:

$(13) \qquad \Omega = \dot A A^{-1} = \dot A A^T$

Ця матриця антисиметрична, оскільки:

$(14) \qquad \Omega^T = \left ( \dot A A^T \right ) = A \dot A^T = {d \over d t} \left ( A A^T \right ) - \dot A A^T = - \Omega$

В антисиметричній матриці третього порядку є лише $\left ( N = C_n^2 = C_3^2 = 3 \right )$ три незалежні відмінні від нуля компоненти. Якщо ми їх позначимо наступним чином:

$(15) \qquad \Omega = \begin{bmatrix} 0 & - \omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & - \omega_x \\ - \omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix}$

то дія такої матриці на вектор дорівнюватиме векторному добутку $\boldsymbol{\omega}$ на цей вектор:

$(16) \qquad \Omega \mathbf{r} = \begin{bmatrix} 0 & - \omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & - \omega_x \\ - \omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega_y z - \omega_z y \\ \omega_z x - \omega_x z \\ \omega_x y - \omega_y x \end{pmatrix} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$

Тепер формулу (9) ми можемо переписати так:

$(17) \qquad \mathbf{v}_{abs} = \dot \mathbf{R} = \dot A \mathbf{x} + A \dot \mathbf{x} + \dot \mathbf{R}_0 = \Omega A \mathbf{x} + \mathbf{v} + \mathbf{v}_0 = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} + \mathbf{v} + \mathbf{v}_0$

При записі останньої рівності ми скористалися формулами (4) і (16). Як бачимо, справжня (абсолютна швидкість) матеріальної точки складається з трьох доданків: швидкості $\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, повязаної з обертанням рухомої системи координат; швидкості $\mathbf{v}$ відносно цієї системи координат; та поступальної швидкості $\mathbf{v}_0$ з якою рухається початок координат $\mathbf{R}_0$.

Прискорення

Продиференціюємо формулу (9) ще раз, одержимо:

$(18) \qquad \ddot \mathbf{R} = \ddot A \mathbf{x} + 2 \dot A \dot \mathbf{x} + A \ddot \mathbf{x} + \ddot \mathbf{R}_0$

Обчислимо спочатку перший доданок формули (18):

$(19) \qquad \ddot A \mathbf{x} = {d \over d t} \left ( \Omega A \right )\mathbf{x} = \dot \Omega A \mathbf{x} + \Omega \left ( \Omega A \right ) \mathbf{x} = \dot \Omega \mathbf{r} + \Omega \left ( \Omega \mathbf{r} \right )$

Переходячи від матричних позначень до векторних за формулою (16), знаходимо:

$(20) \qquad \ddot A \mathbf{x} = \dot \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times \left ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right )$

Далі обчислюємо другий доданок, врахувавши формулу (11):

$(21) \qquad 2 \dot A \dot \mathbf{x} = 2 \Omega A \dot \mathbf{x} = 2 \Omega \mathbf{v} = 2 \left ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} \right )$

Третій доданок дорівнює прискоренню $\mathbf{a}$ відносно рухомої системи координат:

$(22) \qquad A \ddot \mathbf{x} = \mathbf{a}_1 {d^2 x_1 \over d t^2} + \mathbf{a}_2 {d^2 x_2 \over d t^2} + \mathbf{a}_3 {d^2 x_3 \over d t^2}$

Нарешті останній доданок враховує поступальне прискорення $\mathbf{a}_0$ початку координат рухомої системи.

Сили

Ліва частина формули (18) є прискоренням $\mathbf{a}_{abs}$ в нерухомій (інерціальній) системі координат, а тому для цього прискорення ми можемо записати другий закон Ньютона:

$(23) \qquad \mathbf{F} = m \mathbf{a}_{abs} = m \ddot \mathbf{R}$

де $\mathbf{F}$ — рівнодійна усіх справжніх сил. З формул (18-23) одержуємо:

$(24) \qquad m \mathbf{a} = \mathbf{F} - m \left (\dot \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right ) - m \left ( \boldsymbol{\omega} \times \left ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right ) \right ) - 2 m \left ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} \right ) - m \mathbf{a}_0$

Вивід формул виходячи із загальної теорії відносності

Формула (1) є формулою класичної механіки, і її можна виводити не звертаючись до теорії відносності. Але вивід цієї (але вже уточненої) формули не складно зробити і в теорії відносності, чим ми і займемся. Виходячи з принципу еквівалентності, в довільній (в тому числі криволінійній) системі координат, добуток маси матеріальної точки на прискорення дорівнює:

$(25) \qquad m {d^2 x^i \over d \tau^2} = - m \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d \tau} {d x^k \over d \tau} + F^i$

де $\tau$ — власний час матеріальної точки, перший доданок (з символами Крістофеля) в правій стороні формули (25) відповідає силам інерції та гравітації, а другий доданок — це реальні сили $F^i$.
Зосередимося на силах інерції, поклавши $F^i = 0$, а також вважаючи простір-час плоским, тобто відсутня гравітація, яка виникає внаслідок викривлення простору-часу. В плоскому просторі-часі можна обрати інерційну декартову систему координат $\{ x^0, x^1, x^2, x^3 \}$, де перша координата напрямлена вздовж осі часу $x^0 = c t$, а решта — це три просторові координати $x^1 = x, \, x^2 = y, \, x^3 = z$
В цій системі координат метричний тензор є константою, тобто метрикою Мінковського:

$(26) \qquad (g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

і всі символи Крістофеля дорівнюють нулю. В цій системі координат, згідно з (25), сили інерції дорівнюють нулю.
Розглянемо тепер іншу систему координат $\{\hat x^0, \hat x^1, \hat x^2, \hat x^3 \}$, в ній символи Крістофеля дорівнюють:

$(27) \qquad \hat \Gamma^i_{jk} = - {\partial x^p \over \partial \hat x^j} {\partial x^q \over \partial \hat x^k} {\partial^2 \hat x^i \over \partial x^p \partial x^q}$

Чотиривимірні координати

Будемо вважати цю нову систему координат рухомою і декартовою щодо просторових координат, тобто функції переходу від рухомої до абсолютної системи координат $x^i = x^i(\hat x^0, \hat x^1, \hat x^2, \hat x^3)$ даются формулами аналогічними (8):

$(28) \qquad x^0 = \hat x^0 = c t$

$\qquad x^1 = a^1_1 \hat x^1 + a^1_2 \hat x^2 + a^1_3 \hat x^3 + b^1$

$\qquad x^2 = a^2_1 \hat x^1 + a^2_2 \hat x^2 + a^2_3 \hat x^3 + b^2$

$\qquad x^3 = a^3_1 \hat x^1 + a^3_2 \hat x^2 + a^3_3 \hat x^3 + b^3$

де коефіцієнти $a^i_j, \, b^i$ (при $i, j = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$) залежать тільки від часу, тобто від нульової координати $\hat x^0 = c t$:

$(29) \qquad a^i_j = a^i_j (t), \qquad b^i = b^i (t)$

і коефіцієнти $a^i_j$ разом утворюють тривимірну ортогональну матрицю. Підставляючи функції (28) в (27), ми можемо обчислити всі коефіцієнти Крістофеля, а отже і траєкторію руху матеріальної точки за формулою (25), не вдаючись до аналізу сил інерції.
Тут ми обчислимо тільки матрицю переходу ${\partial x^i \over \partial \hat x^j}$ між цими системами координат, відокремлюючи часову координату від просторових:

$(30) \qquad {\partial x^0 \over \partial \hat x^0} = 1, \qquad {\partial x^0 \over \partial \hat x^i} = 0, \qquad {\partial x^i \over \partial \hat x^j} = a^i_j$

$(31) \qquad {\partial x^i \over \partial \hat x^0} = {1 \over c} \left ( \sum_{k=1}^3 \dot a^i_k \hat x^k + \dot b^i \right ) = { u^i \over c}$

В формулах (30), (31) індекси $i, j, k$ пробігають просторові компоненти $\left \{1, 2, 3 \right \}$. У формулі (31) через $u^i$ позначено швидкість точок рухомої системи координат відносно нерухомої:

$(32) \qquad \mathbf{u} = \dot A \hat \mathbf{x} + \dot \mathbf{b} = \Omega (A \mathbf{x}) + \mathbf{v}_0 = \Omega \mathbf{r} + \mathbf{v}_0 = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} + \mathbf{v}_0$

Тривимірний образ сил інерції

Величина з одним індексом:

$(33) \qquad \tilde F^i = - m \hat \Gamma^i_{jk} {d \hat x^j \over d \tau} {d \hat x^k \over d \tau}$

подібна до 4-вектора, але «неправильно» змінються при заміні координат. Зафіксувавши нашу рухому систему координат $\hat x^i$, ми можемо розглянути два геометричні об'єкти: 4-вектор $\tilde F^i$ і тривимірну гіперповерхню (в даному разі це гіперплощина), яка залежить від трьох параметрів $\hat x^1, \hat x^2, \hat x^3$ при фіксованому часі $\left( x^0 = const \right)$. Ми можемо ортогонально спроектовати $\tilde F^i$ на цю гіперповерхню, і одержати тривимірний вектор сили інерції. Координати цього вектора будуть виражатися через коваріантні координати псевдовектора

$(34) \qquad (\tilde F)_i = - \hat g_{ij} \tilde F^j$

Докладніше про це у статті «Тривимірні тензори всередині чотиривимірних». Отже маємо вираз сили інерції через символи Крістофеля з нижніми індексами:

$(35) \qquad (\tilde F)_i = m \hat \Gamma_{jk, i} {d \hat x^j \over d \tau} {d \hat x^k \over d \tau}$

Цю формулу ми розглядаємо, обмежившись просторовими значеннями індекса $i = \{ 1, 2, 3 \}.$ Символи Крістофеля обчислюються через метричний тензор за формулою:

$(36) \qquad \hat \Gamma_{jk, i} = {1 \over 2} \left ( {\partial \hat g_{ik} \over \partial \hat x^j} + {\partial \hat g_{ji} \over \partial \hat x^k} - {\partial \hat g_{jk} \over \partial \hat x^i} \right )$

Отже нам треба спочатку обчислити метричний $\hat g_{ij}$ тензор в рухомій системі координат.

Метрика в неінерційній системі відліку

Оскільки в абсолютній системі координат метричний тензор дорівнює метриці Мінковського (26), ми можемо за тензорними правилами перерахувати цей тензор в рухому систему координат:

$(37) \qquad \hat g_{ij} = {\partial x^k \over \partial \hat x^i} {\partial x^l \over \partial \hat x^j} = {\partial x^0 \over \partial \hat x^i} {\partial x^0 \over \partial \hat x^j} - \sum_{k=1}^3 {\partial x^k \over \partial \hat x^i} {\partial x^k \over \partial \hat x^j}$

Якщо обидва індекси $i, j$ набувають просторових значень $i = \{ 1, 2, 3 \}$, то перший доданок дорівнюватиме нулю згідно з (30). Знаходимо:

$(38) \qquad \hat g_{ij} = -\sum_{k=1}^3 {\partial x^k \over \partial \hat x^i} {\partial x^k \over \partial \hat x^j} = - \sum_{k=1}^3 a^k_i a^k_j = - (A^T A)_{ij} = - \delta_{ij}$

оскільки матриця $A$ ортогональна. Далі, знаходимо мішані просторово-часові компоненти метричного тензора, тут також перший доданок в правій частині формули (37) перетворюється в нуль:

$(39) \qquad \hat g_{0i} = - \sum_{k=1}^3 {\partial x^k \over \partial \hat x^0} {\partial x^k \over \partial \hat x^i} = - \sum_{k=1}^3 {u^k \over c} a^k_i = - {1 \over c} (A^{-1} \mathbf{u})_i$

тобто дорівнюють компонентам швидкості ${\mathbf{u} \over c}$ в рухомій системі координат. Нарешті, часова компонента метричного тензора дорівнює:

$(40) \qquad \hat g_{00} = \left ( {\partial x^0 \over \partial \hat x^0} \right )^2 - \sum_{k=1}^3 \left ({\partial x^k \over \partial \hat x^0} \right )^2 = 1 - {\mathbf{u}^2 \over c^2}$

Формули (38-40) повністю описують метричний тензор, який ми тепер можемо зобразити у вигляді матриці:

$(41) \qquad (\hat g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 - {\mathbf{u}^2 \over c^2} & -{u_x \over c} & -{u_y \over c} & -{u_z \over c} \\ -{u_x \over c} & -1 & 0 & 0 \\ -{u_y \over c} & 0 & -1 & 0 \\ -{u_z \over c} & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

Користуючись метричним тензором ми можемо обчислити диференціал власного часу матеріальної точки:

$(42) \qquad c^2 (d \tau)^2 = \hat g_{ij} d \hat x^i d \hat x^j = \left (1 - {\mathbf{u}^2 \over c^2} \right ) (d \hat x^0)^2 + 2 \sum_{i=1}^3 \left ( - {u^i \over c} \right ) d \hat x^0 d \hat x^i - \sum_{i=1}^3 (d \hat x^i)^2 = \left ( c^2 - (\mathbf{u} + \mathbf{v})^2 \right ) d t ^2$

$(43) \qquad d \tau = \sqrt{1 - {\mathbf{v}_{abs}^2 \over c^2}} d t$

Продовження обчислень сил інерції

Розділимо суму в правій частині формули (35) на три доданки, відокремлюючи доданки з просторовими координатами від доданків з часовою координатою:

$(44) \qquad (\tilde F)_i = m \hat \Gamma_{00, i} {d \hat x^0 \over d \tau} {d \hat x^0 \over d \tau} + 2 m \sum_{j=1}^3 \hat \Gamma_{0j, i} {d \hat x^0 \over d \tau} {d \hat x^j \over d \tau} + m \sum_{j, k=1}^3 \hat \Gamma_{jk, i} {d \hat x^j \over d \tau} {d \hat x^k \over d \tau}$

Почнемо аналіз цієї формули з останнього доданка. Оскільки символи Крістофеля обчислюються за формулою (36), а просторова частина метричного тензора є константою (38), то символи Крістофеля перетворюються в нуль і останній доданок у формулі (44) зникає. Далі розглянемо середній доданок — він пропорційний швидкості а тому є силою Коріоліса. Знаходимо відповідний символ Крістофеля:

$(45) \qquad \hat \Gamma_{0j, i} = {1 \over 2} \left ({\partial \hat g_{ij} \over \partial \hat x^0} + {\partial \hat g_{0i} \over \partial \hat x^j} - {\partial \hat g_{0j} \over \partial \hat x^i} \right )$

Перший доданок у формулі (45) дорівнює нулю внаслідок (38), а решта два доданки в сумі дають деяку тривимірну антисиметричну за індексами $\{ij\}$ матрицю. Ця матриця є по-перше, компонентами ротора векторного поля $\mathbf{u}$, обчисленими в рухомій системі координат; а по-друге, ця матриця з точністю до постійного множника $- {1 / c}$ збігається з матрицею $\Omega$ (формула (13)), але компоненти якої обчислені в рухомій системі координат:

$(46) \qquad \hat \Gamma_{0j, i} = {1 \over 2} \left ( {\partial \over \partial \hat x^j} (- {1 \over c} A^T \mathbf{u})_i - {\partial \over \partial \hat x^i} (- {1 \over c} A^T \mathbf{u})_j \right ) =$

$= - {1 \over 2 c} \left ( {\partial \over \partial \hat x^j} (A^T \dot A \hat \mathbf{x} + A^T \dot \mathbf{b})_i - {\partial \over \hat \partial x^i} (A^T \dot A \hat \mathbf{x} + \dot \mathbf{b})_i \right ) = - {1 \over c} \left ( A^T \dot A \right )_{ij} = - {1 \over c} \left ( A^T \Omega A \right )_{ij}$

Отже сила Коріоліса дорівнює:

$(47) \qquad (\tilde F)_i = 2 m \sum_{j=1}^3 \hat \Gamma_{0j, i} {d \hat x^0 \over d \tau} {d \hat x^j \over d \tau} = - 2 m {1 \over c} \sum_{j=1}^3 \left ( A^T \Omega A \right )_{ij} c ({d t \over d \tau})^2 {d \hat x^j \over d t}$

Враховуючи формулу (43), ми можемо записати цю формулу у векторному вигляді:

$(48) \qquad \mathbf{F}_{Corr}= - {2 m (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}) \over 1 - {\mathbf{v}_{abs}^2\over c^2}}$

Обчислимо, нарешті, перший доданок у формулі (44). Для цього знаходимо відповідний символ Крістофеля:

$(49) \qquad \hat \Gamma_{00,i} = {1 \over 2} \left ( 2 {\partial \hat g_{0i} \over \partial \hat x^0} - {\partial \hat g_{00} \over \partial \hat x^i} \right) = {1 \over c} {\partial \over \partial t} \left ( - {1 \over c} A^T \mathbf{u} \right )_i - {1 \over 2} {\partial \over \partial \hat x^i} \left ( 1 - {\mathbf{u}^2 \over c^2} \right )$

Розпишемо докладніше обидва доданки цієї формули, підставляючи вираз для $\mathbf{u}$ із формули (32) і виконуючи диференціювання. Перший доданок дорівнює:

$(50) \qquad - {1 \over c^2} {\partial \over \partial t} \bigg|_{\hat x = const} \left ( A^T (\dot A \hat \mathbf{x} + \dot \mathbf{b}) \right )_i = - {1 \over c^2} \left [ \dot A^T (\dot A \hat \mathbf{x} + \dot \mathbf{b}) + A^T (\ddot A \hat \mathbf{x} + \ddot \mathbf{b}) \right ]_i$

а другий:

$(51) \qquad {1 \over 2 c^2} {\partial \over \partial \hat x^i} (\dot A \hat \mathbf{x} + \dot \mathbf{b})^2 = {1\over c^2} \left [ \dot A^T (\dot A \hat \mathbf{x} + \dot \mathbf{b}) \right ]_i$

Як бачимо, доданок (51) знищуєтья з першим доданком в правій частині формули (50). Отже для символа Крістофеля маємо:

$(52) \qquad \hat \Gamma_{00,i} = - {1 \over c^2} \left ( A^T (\ddot A \hat \mathbf{x} + \ddot \mathbf{b}) \right )_i$

Враховуючи формулу (20), формула (52) є просто координатою (відносно рухомої системи координат) наступного тривимірного вектора:

$(54) \qquad - {1 \over c^2} \left ( \dot \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) + \mathbf{a}_0 \right )$

Отже у векторному виді перший доданок (44) запишеться так:

$(55) \qquad m \hat \boldsymbol{\Gamma}_{00} {d \hat x^0 \over d \tau} {d \hat x^0 \over d \tau} = - {m \over c^2} \left ( \dot \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) + \mathbf{a}_0 \right ) \left ( c {d t \over d \tau} \right )^2 = {- m (\dot \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) - m (\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ) - m \mathbf{a}_0 \over 1 - {\mathbf{v}_{abs}^2 \over c^2}}$

Підставляючи (48) і (55) в формулу (44), і згадуючи, що третій доданок в правій частині (44) дорівнює нулю, одержуємо остаточний вираз для сил інерції:

$(56) \qquad \tilde \mathbf{F} = { {- m \left (\dot \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right ) - m \left ( \boldsymbol{\omega} \times \left ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right ) \right ) - 2 m \left ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} \right ) - m \mathbf{a}_0} \over {1 - {\mathbf{v}_{abs}^2 \over c^2}} }$

Порывняємо цю формулу з формулою (24), одержаною в класичній механіці. Єдиною відмінністю є знаменик в (56), який враховує уповільнення часу (формула 43), що повязане з рухом матеріальної точки.

Цікаво, що в формулі (56) для системи координгат, що обертається, знаменник може перетворитися в нуль або стати відємним. Адже далеко від осі обертання швидкість рухомої системи координат відносно нерухомої може перевищити швидкість світла. Ясно, що на таких відстанях не може існувати матеріального тіла, яке б рухалося разом із системою координат — в цьому разі і система координат, і сила (56) стають не більше ніж математичною абстракцією, що не має фізичного трактування.

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.