Символ Шлефлі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Символ Шлефлі — топологічна характеристика багатогранника. У математиці символ Шлефлі застосовується для опису правильних багатокутників, правильних багатогранників, і n-багатогранників.

Символ Шлефлі названий на честь математика XIX століття Людвіга Шлефлі, який вніс значний внесок в геометрію і інші області.

Побудова[ред.ред. код]

Символ Шлефлі правильного багатокутника {p}, де p — число сторін багатокутника. Отже, {3} — правильний трикутник, {4} — квадрат. Для правильних зірок число Шлефлі задається як {p/q}, де p — число сторін, а кожна q-та вершина суміжна. Слід зауважити, що p і q будуть взаємно простими числами. Наприклад, {5/2} — пентаграма.

Символ Шлефлі позначається у вигляді {p, q, r, … }. Символ Шлефлі правильного багатогранника визначається по індукції наступним чином. Визначимо p як число сторін 2-мірної грані. Зафіксуємо тепер якусь вершину P багатогранника Γ і розглянемо всі вершини Γ, з'єднані з нею ребром. Всі ці вершини лежать в одній гіперплощині H (ортогональної до осі, що з'єднує центр багатогранника з вершиною P) і перетин ΓH багатогранника Γ гіперплощиною H являє собою правильний багатогранник на 1 меншої розмірності. Оскільки всі вершини Γ рівноправні, то тип цього багатогранника не залежить від вибору вершини P. Визначимо тепер q як число сторін 2-мірної грані багатогранника ΓH. Продовжуючи діяти таким чином до тих пір, поки отримуваний перетин має двовимірну грань, ми отримаємо символ Шлефлі Γ. Таким чином, символ Шлефлі n-мірного багатогранника складається з n-1 цілих чисел ≥ 3.

Можливе інше визначення для 3-мірних багатогранників: багатогранник, який має q p-сторонніх граней при вершині представляється як {p,q}. Наприклад, куб має 3 квадрати при вершині і представляється як {4,3}.

Правильний 4-мірний політоп (4-багатогранник) з r правильними {p,q}- багатогранними комірками (en:Face_(geometry)#Cell_or_3-face) при ребрі представляється як {p,q,r}. І далі застосовуємо індукцію для більшої кількості вимірів.

Приклади[ред.ред. код]

Розмірність
простору
Символ Шлефлі Багатогранник
3 {3,3} Тетраедр
3 {4,3} Куб
3 {3,4} Октаедр
3 {3,5} Ікосаедр
3 {5,3} Додекаедр
4 {3,3,3} 5-комірник (4-симплекс)
4 {4,3,3} 8-комірник (4-куб)
4 {3,3,4} 16-комірник
4 {3,4,3} 24-комірник
4 {5,3,3} 120-комірник
4 {3,3,5} 600-комірник
≥ 5 {3, …, 3} n-симплекс
≥ 5 {3, …, 3,4} Гіпероктаедр
≥ 5 {4,3, …, 3} Гіперкуб

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]