Симетричний многочлен

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Симетричний многочленмногочлен від n змінних \ F(x_1,x_2,\ldots,x_n), що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен F \in R[x_1,\dots,x_n] від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки

 \sigma=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n \\ x_{\sigma(1)} & x_{\sigma(2)} & x_{\sigma(3)} & \ldots & x_{\sigma(n)} \end{pmatrix}

справедлива рівність:

\ F(x_1,\dots,x_n)= F(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)}).

Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри R[x_1,\dots,x_n] многочленів від n змінних над кільцем R.

Приклади[ред.ред. код]

Для двох змінних x1, x2 прикладами симетричних многочленів є:

  • x_1^3+ x_2^3-7
  • 4 x_1^2x_2^2 +x_1^3x_2 + x_1x_2^3 +(x_1+x_2)^4

для трьох змінних x1, x2, x3 наступний многочлен теж буде симетричним

  •  x_1 x_2 x_3 - 2 x_1 x_2 - 2 x_1 x_3 - 2 x_2 x_3 \,

Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:

  • \prod_{1\leq i<j\leq n}(X_i-X_j)^2.

Натомість многочлен:

  • x_1 - x_2 \,

не є симетричним, оскільки після перестановки x1 і x2 одержується не рівний вихідному многочлен, x2 − x1.

Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:

  • x_1^4x_2^2x_3 + x_1x_2^4x_3^2 + x_1^2x_2x_3^4.

Особливі види симетричних многочленів[ред.ред. код]

Степеневі симетричні многочлени[ред.ред. код]

Степеневими симетричними многочленами називаються суми k - их степенів змінних, тобто:

p_k(x_1,\ldots,x_n) = x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k .

Елементарні симетричні многочлени[ред.ред. код]

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

\begin{align} e_0 (x_1, x_2, \dots,x_n) &= 1,\\ e_1 (x_1, x_2, \dots,x_n) &= \textstyle\sum_{1 \leq j \leq n} x_j,\\ e_2 (x_1, x_2, \dots,x_n) &= \textstyle\sum_{1 \leq j < k \leq n} x_j x_k,\\ e_3 (x_1, x_2, \dots,x_n) &= \textstyle\sum_{1 \leq j < k < l \leq n} x_j x_k x_l,\\ \end{align}

і так далі до

e_n (x_1, x_2, \dots,x_n) = x_1 x_2 \cdots x_n.

Для довільного многочлена можна записати:

e_k (x_1 , \ldots , x_n )=\sum_{1\le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n} x_{j_1} \cdots x_{j_k}.

Рівності Ньютона[ред.ред. код]

Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:

ke_k(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^k(-1)^{i-1} e_{k-i} (x_1,\ldots,x_n) p_i(x_1,\ldots,x_n),

Для перших кільком многочленів рівності мають вигляд:

\begin{align} e_1 &= p_1,\\ 2e_2 &= e_1p_1-p_2,\\ 3e_3 &= e_2p_1 - e_1p_2 + p_3,\\ 4e_4 &= e_3p_1 - e_2p_2 + e_1p_3 - p_4,\\ \end{align}

Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:

\begin{align} p_1 &= e_1,\\ p_2 &= e_1p_1-2e_2,\\ p_3 &= e_1p_2 - e_2p_1 + 3e_3 ,\\ p_4 &= e_1p_3 - e_2p_2 + e_3p_1 - 4e_4, \\ & {}\ \ \vdots \end{align}

Теорема Вієта[ред.ред. код]

Докладніше: Теорема Вієта

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта:

Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

P=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_2t^2+a_1t+a_0=(t-x_1)(t-x_2)\cdots(t-x_n),

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

\begin{align} a_{n-1}&=-x_1-x_2-\cdots-x_n\\ a_{n-2}&=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n = \textstyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j\\ & {}\ \, \vdots\\ a_{n-d}&=\textstyle(-1)^d\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_d\leq n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_d}\\ & {}\ \, \vdots\\ a_0&=(-1)^nx_1x_2\cdots x_n.\\ \end{align}

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени[ред.ред. код]

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних e_1, \ldots, e_n з коефіцієнтами з R.

Доведення[ред.ред. код]

Для симетричного многочлена h(x_1,\ldots,x_n) \in R[x_1,\dots,x_n], визначимо T = Th як множину усіх наборів чисел (l_1,\ldots,l_n) для яких коефіцієнт x_1^{l_1},\dots,x_n^{l_n} в h(x_1,\ldots,x_n) не рівний нулю. Визначимо розмір h, як (k_1,\ldots,k_n) де (k_1,\ldots,k_n) є елементом T для якого k_1 є найбільшим з можливих, k_2 — найбільше з можливих при даному k_1 і т. д. Оскільки h(x_1,\ldots,x_n) є симетричним, то (l_1,\ldots,l_n) \in T якщо і тільки якщо кожна перестановка (l_1,\ldots,l_n) належить T. Звідси випливає, що (k_1 \geq k_2 \geq \ldots \geq k_n). З використанням введеного поняття розміру всі елементи R[x_1,\dots,x_n] можна впорядкувати: якщо h1 має розмір (k_1,\ldots,k_n) і h2 має розмір (k_1',\ldots,k_n') тоді h1 > h2 якщо для деякого i \in \{1, \ldots, n-1 \} виконується k_1 = k_1', \ldots, k_i = k_i' і k_{i + 1} > k_{i + 1}.\, Елементи R[x_1,\dots,x_n], що мають розмір (0, 0, ..., 0) є константами, тобто елементами R.

Припустимо що (k_1,\ldots,k_n) є розміром деякого симетричного многочлена g \in R[x_1,\dots,x_n], і g \ni R. Для невід'ємних цілих чисел d1, ..., dn, розмір h = e_1^{d_1}e_2^{d_2} \dots e_n^{d_n} рівний (d_1 + d_2 + \dots + d_n, d_2+ \dots + d_n, \ldots , d_{n-1} + d_n, d_n). Взявши d_1 = k_1 - k_2; d_2 = k_2 - k_3; \ldots ; d_{n-1} = k_{n-1} - k_n, d_n = k_n, одержуємо, що розмір h рівний (k_1,\ldots,k_n). Коефіцієнт при x_1^{k_1},\dots,x_n^{k_n} в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент a \in R, такий, що g − ah має менший розмір ніж g.

Як наслідок для довільного симетричного f \in R[x_1,\dots,x_n], існують a_1, \ldots, a_m \in R і h_1, \ldots, h_m \in R[x_1,\dots,x_n] такі, що f - a_1h_1 - \dots - a_mh_m має розмір (0, 0, ..., 0). Це завершує доведення теореми.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с
  • Прасолов В. В. Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1