Симплекс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Симплекс або n-вимірний тетраедр (від лат. simplex — простий) — геометрична фігура, що є багатовимірним узагальненням трикутника і тетраедра. Визначається як опукла оболонка n+1 точок, що не лежать в одній n-1 -вимірній гіперплощині. Ці точки називаються вершинами симплексу.

Побудова[ред.ред. код]

Як відомо, через будь-які n точок можна провести (n-1)-площину і існують множини з n+1 точок, через які (n-1)-площину провести не можна. Таким чином n+1 — мінімальна кількість точок в n-просторі, які не лежать в одній (n-1)-площині, і можуть бути вершинами n-многогранника.

Простий n-многогранник з кількістю вершин n+1 називається симплексом. У просторах найменших розмірностей цьому визначенню відповідають 4 фігури:

Всі ці фігури володіють трьома загальними властивостями:

  1. Відповідно до визначення, число вершин у кожної фігури на одиницю більше розмірності простору;
  2. Існує загальне правило перетворення фігур нижчої розмірності у фігури вищої розмірності. Воно полягає в тому, що з геометричного центра фігури будується перпендикуляр в наступний вимір, на цьому перпендикулярі будується нова вершина і з'єднується ребрами зі всіма вершинами початкового симплексу;
  3. Як випливає з описаної в п. 2 процедури, будь-яка вершина симплекса сполучена ребрами зі всією рештою вершин.

Кількість граней симплекса[ред.ред. код]

Симплекс має n+1 вершин, кожна з яких сполучена ребрами зі всією рештою вершин.

Оскільки всі вершини симплексу сполучені між собою, то тією ж властивістю володіє і будь-яка підмножина його вершин. Це значить, що будь-яка підмножина з L+1 вершин симплексу визначають його L-вимірну грань, і ця грань сама є L-симплексом. Тоді для симплексу число L-вимірних граней рівне числу способів вибрати L+1 вершину з повного набору n+1 вершин.

Позначимо символом K(L,n) число L-вимірних граней в n-многограннику, тоді для n-симплексу

~K(L,n) = C^{L+1}_{n+1},

де ~C^m_n — число комбінацій з n по m.

Зокрема, кількість граней найбільшої розмірності рівна кількості вершин і рівна n+1:

~K(0,n) = K(n-1,n)= n+1.

Стандартний симплекс[ред.ред. код]

Зелений трикутник — стандартний 2-симплекс

Стандартний n-симплекс ця підмножина \mathbb{R}^{n+1}, що визначається як:

\Delta^n=\{(t_0,\dots t_n)\mid {(\sum_i t_i = 1)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}

Його вершинами є точки:

e0=(1, 0 . 0)
e1=(0, 1 . 0)
.
en=(0, 0 . 1)

Існує канонічне бієктивне відображення стандартного n-симплекса в будь-якій іншої n-симплекс з координатами вершин (v_0, v_1,\dots v_n):

(t_0,\dots t_n) \to \sum_i t_i v_i

Значення ti для даної точки називаються її барицентричними координатами.

Зростаючі координати[ред.ред. код]

Альтернативну координатну систему можна визначити взявши:

\begin{align}
s_0 &= 0\\
s_1 &= s_0 + t_0 = t_0\\
s_2 &= s_1 + t_1 = t_0 + t_1\\
s_3 &= s_2 + t_2 = t_0 + t_1 + t_2\\
&\dots\\
s_n &= s_{n-1} + t_{n-1} = t_0 + t_1 + \dots + t_{n-1}\\
s_{n+1} &= s_n + t_n = t_0 + t_1 + \dots + t_n = 1
\end{align}

Тоді точки симплекса визначаються векторами з неспадними координатами між 0 and 1:

\Delta_*^n = \left\{(s_1,\cdots,s_n)\in\mathbb{R}^n\mid 0 = s_0 \leq s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq s_n \leq s_{n+1} = 1 \right\}.

Геометричні властивості[ред.ред. код]

Симплекс називається правильним, якщо всі його ребра мають однакову довжину: наприклад, правильний трикутник або правильний тетраедр. Правильний симплекс завжди є правильним многогранником.

Орієнтований об'єм n-симплекса в n-вимірному евклідовому просторі можна визначити за формулою:

V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)

Визначник Келі-Менгера дозволяє обчислити об'єм симплексу, знаючи довжини його ребер:

V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\
1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\
1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}

де d_{ij}=|v_i - v_j| — відстань між i-й і j-й вершинами, n - розмірність простору. Ця формула - узагальнення формулы Герона для трикутників.

Об'єм правильного n-симплекса з одиничною стороною рівний \frac{\sqrt{n+1}}{n!\, 2^{n/2}}

Якщо задано ~C^2_{n+1} додатних дійсних чисел d_{ij}, ~0 \leq i,j \leq n, то симплекс відстань між відповідними вершинами якого рівна цим числам існує тоді і тільки тоді коли X^TDX < 0, \quad \forall X: \sum_{i=0}^n x_i = 0, де матриця D визначається:

D = \begin{pmatrix}
0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\
d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\
d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\
\end{pmatrix}.

Еквівалентно такий симплекс існує якщо і тільки якщо квадратна матриця A розмірності n елементи якої визначаються:

a_{ij} = \begin{cases} d_{0i}^2, & i = j \\ \frac{d_{0i}^2 + d_{0j}^2 + d_{ij}^2}{2}, & i \neq j \end{cases}

є додатноозначеною. Дана матриця є матрицею Грама для векторів  v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0.

Формули для правильного симплексу[ред.ред. код]

Число L-мірних граней ~K(L,n) = C^{L+1}_{n+1}
Висота ~H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}} ~H_n = R_n \frac{n+1}{n} ~H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2} ~H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3} ~H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}
Об'єм ~V_n =  \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}} ~V_n =  \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n} ~V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4} ~V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12} ~V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}
Радіус описаної сфери ~R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}} ~a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}} ~R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3} ~R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4} ~R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}
Радиус вписаної сфери ~r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}} ~r_n = \frac{R_n}{n} ~r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6} ~r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12} ~r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}
Двогранний кут ~\cos \alpha = \frac{1}{n}

Співвідношення між величинами:

~R_n = H_n \frac{n}{n-1}
~a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2
~V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n
~r_n = R_n^2 - R_{n-1}^2

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.

Посилання[ред.ред. код]

Weisstein, Eric W. Симплекс(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.