Симпліціальний комплекс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Симпліціальний 3-комплекс.
Приклад множини симплексів, що не є симпліціальним комплексом.

Симпліціальний комплекс — спеціальний топологічний простір, утворений «склеюванням» точок, відрізків, трикутників, тетраедрів і симплексів вищих порядків. Широко використовується в алгебраїчній топології для обчислень, зокрема гомологічних груп.

Означення[ред.ред. код]

Нехай \ v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k — вершини симплекса у векторному просторі \R^n. Позначимо [v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k] — симплекс, що є опуклою комбінацією цих точок (натягнутий на точки v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k). Також позначимо (v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k) — відкритий симплекс з даними вершинами, тобто множина точок барицентричні координати яких більші нуля, тобто   x = \alpha_0\cdot v_0+ \alpha_1\cdot v_1+\alpha_2\cdot v_2+\ldots+\alpha_k\cdot v_k, де \alpha_0+\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_k=1 і також \alpha_i > 0 , \; i = \overline{0,k}.

Для позначення відкритого і відповідного замкнутого симплексів також використовуються позначення (s) і [s]. Замкнутою (відкритою) гранню симплекса [s] = [v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k] називається замкнутий (відкритий) симплекс натягнутий на деяку підмножину точок v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k.

Симпліціальним комплексом називається скінченна множина K відкритих симплексів, що задовольняє умови:

  1. Якщо (s) \in K, то всі відкриті грані замкнутого симплексу [s] теж належать K.
  2. Якщо (s_1), (s_2) \in K, і також (s_1) \cap (s_2) \neq \varnothing, то (s_1) = (s_2).

Еквівалентно можна визначити симпліціальний комплекс, як скінченну множину K+ замкнутих симплексів, що задовольняє умови:

  1. Якщо [s] \in K^+, то всі замкнуті грані [s] теж належать K+.
  2. Якщо [s_1], [s_2] \in K^+, то [s_1] \cap [s_2] є гранню обох симплексів [s_1], [s_2].\,

Множина точок, що належать симплексам із множини K позначається [K] або |K|. Такі множини називаються поліедрами.

Підкомплексом симпліціального комплекса K називається симпліціальний комплекс L, такий що з (s) \in L випливає (s) \in K.

Розмірністю симпліціального комплекса називається найбільша з розмірностей симплексів, що входять до цього комплекса.

Підрозбиття симліціального комплекса[ред.ред. код]

Нехай K — симпліціальний комплекс. Підрозбиттям цього симпліціального комплексу називається комплекс K', що задовольняє умови:

  1. Якщо |K| = |K^'|, тобто множини точок обох поліедрів рівні.
  2. Якщо (s) \in K^', то (s) \subset (t), \, (t) \in K.

Барицентричне підрозбиття[ред.ред. код]

Нехай (v_0,v_1,\dots,v_n) \in K — деякий відкритий симплекс, що належить комплексу K. Барицентричним підрозбиттям цього симплекса називається симпліціальний комплекс симплекси якого мають вигляд (b(p_0), b(p_0,p_1), \ldots, b(p_0, \ldots, p_k)), де b(p_0, \ldots, p_k), \, k \leqslant n — барицентр симплекса утвореного точками p_0,p_1,\dots,p_k , а p_0,p_1,\dots,p_n — усі можливі перестановки точок v_0,v_1,\dots,v_n. Розбивши таким чином усі симплекси комплекса K одержуємо барицентричне підрозбиття усього комплекса K. Дане підрозбиття позначається K(1). Індуктивно можна визначити підрозбиття K(n) для будь-якого цілого числа n.

Значення барицентричного підрозбиття полягає в тому, що воно в деякому сенсі, стає щоразу «дрібнішим». А саме якщо позначити:

\operatorname {mesh} \, K = \max_{(s) \in K} \, \operatorname{diam} [s]

де:

\operatorname{diam} \, T = \sup_{t_1, t_2 \in T} \rho(t_1,t_1),

де метрика в даному випадку породжена евклідовою нормою, то виконується властивість:

\operatorname {mesh} \, K^{(1)} \leqslant \frac{m}{m+1} \operatorname {mesh} \, K, де m — розмірність комплекса K.

Зокрема:

\lim_{n \to \infty} \operatorname {mesh} \, K^{(n)} = 0

Симпліціальні відображення[ред.ред. код]

Нехай K і L — два комплекси і v — відображення вершин комплексу K у вершини комплексу L. Це відображення v називається допустимим, якщо з того, що a_0, a_1, \dots, a_n — вершини деякого симплекса комплексу K, випливає, що v(a_0), v(a_1), \dots, v(a_n) є вершинами деякого симплекса комплексу L; серед вершин v(a_0), v(a_1), \dots, v(a_n), деякі можуть повторюватися. Кожне таке відображення визначає деяке відображення \tilde{v}, лінійне на кожному симплексі з K, тобто якщо (s) = (v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k) і:

p = \sum_{i=0}^k a_i v_i \, \in (s)

тоді

\tilde{v}(p) = \sum_{i=0}^k a_i \tilde{v} (v_i) \, \in (s)

Відображення \tilde{v} є неперервним. Його називають симпліціальним відображенням поліедра |К| в |L|, оскільки воно узгоджується з розбиттям поліедрів |К| і |L| на симплекси і афінною структурою цих симплексів.

Симпліціальне наближення[ред.ред. код]

Нехай K — симпліціальний комплекс і v — деяка його вершина. Тоді зіркою у вершині v називається множина:

\operatorname {St} (v) \cup_{v \in [s], (s) \in K} (s).

Нехай K, L — симпліціальні комплекси, f: |K| \to |L| — неперервне відображення між відповідними поліедрами. Тоді симпліціальне відображення \phi: K \to L називається сипліціальним наближенням f, якщо f(\operatorname {St} (v)) \subset \operatorname {St} (\phi(v)), \,\, \forall v \in K.

Властивості[ред.ред. код]

  •  \operatorname {St} (v) є відкритою множиною у |K| і v є єдиною вершиною комплекса K, що належить  \operatorname {St} (v).
  • Нехай \phi: K \to L є симпліціальним наближенням f: |K| \to |L| і p \in |K|. Тоді f(p) і \phi(p) належать одному замкнутому симплексу в L.
  • Нехай f: K \to L — симпліціальне відображення і \phi його симпліціальне наближення. Тоді \phi = f.

Теорема про симпліціальне наближення[ред.ред. код]

Нехай f: |K| \to |L| — неперервне відображення. Тоді для довільного \varepsilon > 0 існують підрозбиття Kn для K і Lm для L, що існує симпліціальне наближення \phi: K_n \to L_m відображення f для якого:

d (f, \phi) < \varepsilon

де

d (f, \phi) \sup_{p \in |K|}  \rho (f(p), \phi(p)).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1986,
  • П. Хилтон, С. Уайли Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. – М.: Мир, 1966. – 452 с.
  • Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3

Посилання[ред.ред. код]