Симпліціальний комплекс

Симпліціальний 3-комплекс.

Приклад множини симплексів, що не є симпліціальним комплексом.

Симпліціальний комплекс — спеціальний топологічний простір, утворений «склеюванням» точок, відрізків, трикутників, тетраедрів і симплексів вищих порядків. Широко використовується в алгебраїчній топології для обчислень, зокрема гомологічних груп.

Означення

Нехай $\ v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k$ — вершини симплекса у векторному просторі $\R^n.$ Позначимо $[v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k]$ — симплекс, що є опуклою комбінацією цих точок (натягнутий на точки $v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k$). Також позначимо $(v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k)$ — відкритий симплекс з даними вершинами, тобто множина точок барицентричні координати яких більші нуля, тобто $x = \alpha_0\cdot v_0+ \alpha_1\cdot v_1+\alpha_2\cdot v_2+\ldots+\alpha_k\cdot v_k,$ де $\alpha_0+\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_k=1$ і також $\alpha_i > 0 , \; i = \overline{0,k}.$

Для позначення відкритого і відповідного замкнутого симплексів також використовуються позначення (s) і [s]. Замкнутою (відкритою) гранню симплекса $[s] = [v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k]$ називається замкнутий (відкритий) симплекс натягнутий на деяку підмножину точок $v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k.$

Симпліціальним комплексом називається скінченна множина K відкритих симплексів, що задовольняє умови:

1. Якщо $(s) \in K,$ то всі відкриті грані замкнутого симплексу [s] теж належать K.
2. Якщо $(s_1), (s_2) \in K,$ і також $(s_1) \cap (s_2) \neq \varnothing,$ то $(s_1) = (s_2).$

Еквівалентно можна визначити симпліціальний комплекс, як скінченну множину K⁺ замкнутих симплексів, що задовольняє умови:

1. Якщо $[s] \in K^+,$ то всі замкнуті грані [s] теж належать K⁺.
2. Якщо $[s_1], [s_2] \in K^+,$ то $[s_1] \cap [s_2]$ є гранню обох симплексів $[s_1], [s_2].\,$

Множина точок, що належать симплексам із множини K позначається [K] або |K|. Такі множини називаються поліедрами.

Підкомплексом симпліціального комплекса K називається симпліціальний комплекс L, такий що з $(s) \in L$ випливає $(s) \in K.$

Розмірністю симпліціального комплекса називається найбільша з розмірностей симплексів, що входять до цього комплекса.

Підрозбиття симліціального комплекса

Нехай K — симпліціальний комплекс. Підрозбиттям цього симпліціального комплексу називається комплекс K', що задовольняє умови:

1. Якщо $|K| = |K^'|,$ тобто множини точок обох поліедрів рівні.
2. Якщо $(s) \in K^',$ то $(s) \subset (t), \, (t) \in K.$

Барицентричне підрозбиття

Нехай $(v_0,v_1,\dots,v_n) \in K$ — деякий відкритий симплекс, що належить комплексу K. Барицентричним підрозбиттям цього симплекса називається симпліціальний комплекс симплекси якого мають вигляд $(b(p_0), b(p_0,p_1), \ldots, b(p_0, \ldots, p_k)),$ де $b(p_0, \ldots, p_k), \, k \leqslant n$ — барицентр симплекса утвореного точками $p_0,p_1,\dots,p_k ,$ а $p_0,p_1,\dots,p_n$ — усі можливі перестановки точок $v_0,v_1,\dots,v_n.$ Розбивши таким чином усі симплекси комплекса K одержуємо барицентричне підрозбиття усього комплекса K. Дане підрозбиття позначається K⁽¹⁾. Індуктивно можна визначити підрозбиття K⁽ⁿ⁾ для будь-якого цілого числа n.

Значення барицентричного підрозбиття полягає в тому, що воно в деякому сенсі, стає щоразу «дрібнішим». А саме якщо позначити:

$\operatorname {mesh} \, K = \max_{(s) \in K} \, \operatorname{diam} [s]$

де:

$\operatorname{diam} \, T = \sup_{t_1, t_2 \in T} \rho(t_1,t_1),$

де метрика в даному випадку породжена евклідовою нормою, то виконується властивість:

$\operatorname {mesh} \, K^{(1)} \leqslant \frac{m}{m+1} \operatorname {mesh} \, K,$ де m — розмірність комплекса K.

Зокрема:

$\lim_{n \to \infty} \operatorname {mesh} \, K^{(n)} = 0$

Симпліціальні відображення

Нехай K і L — два комплекси і v — відображення вершин комплексу K у вершини комплексу L. Це відображення v називається допустимим, якщо з того, що $a_0, a_1, \dots, a_n$ — вершини деякого симплекса комплексу K, випливає, що $v(a_0), v(a_1), \dots, v(a_n)$ є вершинами деякого симплекса комплексу L; серед вершин $v(a_0), v(a_1), \dots, v(a_n),$ деякі можуть повторюватися. Кожне таке відображення визначає деяке відображення $\tilde{v}$, лінійне на кожному симплексі з K, тобто якщо $(s) = (v_0, v_1, v_2, \ldots, v_k)$ і:

$p = \sum_{i=0}^k a_i v_i \, \in (s)$

тоді

$\tilde{v}(p) = \sum_{i=0}^k a_i \tilde{v} (v_i) \, \in (s)$

Відображення $\tilde{v}$ є неперервним. Його називають симпліціальним відображенням поліедра |К| в |L|, оскільки воно узгоджується з розбиттям поліедрів |К| і |L| на симплекси і афінною структурою цих симплексів.

Симпліціальне наближення

Нехай K — симпліціальний комплекс і v — деяка його вершина. Тоді зіркою у вершині v називається множина:

$\operatorname {St} (v) \cup_{v \in [s], (s) \in K} (s).$

Нехай K, L — симпліціальні комплекси, $f: |K| \to |L|$ — неперервне відображення між відповідними поліедрами. Тоді симпліціальне відображення $\phi: K \to L$ називається сипліціальним наближенням f, якщо $f(\operatorname {St} (v)) \subset \operatorname {St} (\phi(v)), \,\, \forall v \in K.$

Властивості

• $\operatorname {St} (v)$ є відкритою множиною у |K| і v є єдиною вершиною комплекса K, що належить $\operatorname {St} (v).$
• Нехай $\phi: K \to L$ є симпліціальним наближенням $f: |K| \to |L|$ і $p \in |K|.$ Тоді $f(p)$ і $\phi(p)$ належать одному замкнутому симплексу в L.
• Нехай $f: K \to L$ — симпліціальне відображення і $\phi$ його симпліціальне наближення. Тоді $\phi = f.$

Теорема про симпліціальне наближення

Нехай $f: |K| \to |L|$ — неперервне відображення. Тоді для довільного $\varepsilon > 0$ існують підрозбиття K_n для K і L_m для L, що існує симпліціальне наближення $\phi: K_n \to L_m$ відображення f для якого:

$d (f, \phi) < \varepsilon$

де

$d (f, \phi) \sup_{p \in |K|} \rho (f(p), \phi(p)).$

Див. також

• Симплекс
• Барицентричні координати
• Сингулярні гомології

Література

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1986,
• П. Хилтон, С. Уайли Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. – М.: Мир, 1966. – 452 с.
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3

Посилання

• Weisstein, Eric W. Simplicial complex(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.