Тригонометричні функції

Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута, особливо корисні при дослідженні та моделюванні періодичних подій. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін трикутника, що містить кут, або як відношення координат точок по колу, або, більш загально, як нескінченні ряди, або як розв'язок диференційного рівняння.

Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.

• синус (sin)
• косинус (cos)
• тангенс (tg = sin / cos)
• котангенс (ctg = cos / sin)
• секанс (sec = 1 / cos)
• косеканс (csc = 1 / sin)

Означення

Геометричне визначення

Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.

Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.

Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник.
Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи:

$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c},~~~\cos \beta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}~.$

Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:

$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c},~~~\sin \beta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}~.$
Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:

$\mbox{tg}~ \alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b},~~~\mbox{tg}~ \beta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}~.$

Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:

$\mbox{ctg}~ \alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},~~~\mbox{ctg}~ \beta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}~.$

Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.

Зв'язок з диференціальним рівнянням

Один період функцій sin(x) та cos(x)

Функції $\sin\, x$ та $\cos\, x$ є розв'язками диференційного рівняння гармонічних коливань

${ d^2 y \over d{x^2}} + y = 0$

$\sin\, x$ та $\cos\, x$ це періодичні функції із періодом $\ 2 \pi,$
$\operatorname{tg}\, x$ та $\operatorname{ctg}\, x$ мають період $\ \pi.$

Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу із інтервалу $[0,{\pi \over 2}]$

$\sin x = \cos \left({\pi \over 2} -x\right)$

$\cos x = \sin \left({\pi \over 2} -x\right)$

$\operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} \left({\pi \over 2} -x\right)$

$\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} \left({\pi \over 2} -x\right)$

Основні співвідношення

Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора:

$~\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Теореми додавання та формули для кратних кутів

Формули для функцій суми кутів

Із основного співвідношення

$\sin {\left ( \alpha + \beta \right ) }= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

отримуємо

$\sin {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,$

$\cos {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,$

$\operatorname{tg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta} \over {1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} },~~~ \operatorname{ctg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1} \over {\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg} \alpha} }$

Формули для функцій подвійних кутів

$\sin {\left ( 2 \alpha \right )} = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\cos {\left ( 2 \alpha \right )} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha$

$\operatorname{tg} {2 \alpha} = {{2 \operatorname{tg} \alpha} \over {1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} }~,~~~\operatorname{ctg} {2 \alpha} = {{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1} \over {2 \operatorname{ctg} \alpha} } = { 1 \over 2 } { \left ( \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha \right ) }$

Формули для функцій потрійних кутів

$\sin {\left ( 3 \alpha \right )} = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha~,~~~\cos {\left ( 3 \alpha \right )} = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha$

Формули для функцій половинних кутів

$\sin {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 - \cos \alpha} \over 2}~,~~~\cos {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 + \cos \alpha} \over 2}$

$\operatorname{tg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 + \cos \alpha}} = {{1 - \cos \alpha} \over \sin \alpha}~,~~~ \operatorname{ctg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 - \cos \alpha}} = {{1 + \cos \alpha} \over \sin \alpha}$

Формули для суми функцій кута

$a \sin A + b \cos B = r \sin {\left( A + B \right )} = r \cos \left( {\pi \over 2} - A -B \right),~{r = \sqrt {a^2 + b^2}},~ {tg B = {b \over a} }$

$\sin A \pm \sin B = 2 \sin {{A \pm B} \over 2} \cos {{A \mp B} \over 2}$

$\cos A + \cos B = 2 \cos {{A + B} \over 2} \cos {{A - B} \over 2}$

$\cos A - \cos B = - 2 \sin {{A + B} \over 2} \sin {{A - B} \over 2}$

$\operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B = {\sin {A \pm B} \over {\cos A \cos B}}~,~~ \operatorname{ctg} A \pm \operatorname{ctg} B = {\sin {B \pm A} \over {\sin A \sin B}}$

Загальні формули для функцій кратних кутів

Якщо n є цілим додатнім числом, то

$\sin {n A} = {n \choose 1} \cos^{n -1} A \sin A - {n \choose 3} \cos^{n - 3} A \sin^3 A + {n \choose 5} \cos^{n - 5} A \sin^5 A \mp \cdots$

$\cos {n A} = \cos^n A - {n \choose 2} \cos^{n - 2} A \sin^2 A + {n \choose 4} \cos^{n - 4} A \sin^4 A \mp \cdots$

Загальні формули для степенів функцій

Якщо n є цілим непарним числом, то

$\sin^n x = { {(-1)^{{n-1} \over 2}} \over {2^{n-1}} } \left [ \sin {n x} - {n \choose 1} \sin {(n-2) x} + {n \choose 2} \sin {(n - 4) x} - {n \choose 3} \sin {(n - 6) x} + \cdots + (-1)^{{n-1} \over 2} {n \choose {{n-1} \over 2}} \sin x \right ]$

$\cos^n x = { \left ( { 1 \over 2 } \right ) }^{n - 1} \left [ \cos {n x} + {n \choose 1} \cos {(n-2) x} + {n \choose 2} \cos {(n - 4) x} + {n \choose 3} \cos {(n - 6) x} + \cdots + {n \choose {{n-1} \over 2}} \cos x \right ]$

Якщо n є цілим парним числом, то

$\sin^n x = {{{\left ( -1 \right )}^{{n \over 2}} } \over {2^{n - 1} } } \left [ \cos {n x} - {n \choose 1} \cos {(n-2) x} + {n \choose 2} \cos {(n-4) x} - {n \choose 3} \cos {(n-6) x} + \cdots + {\left ( -1 \right )}^{{n-2} \over 2} {n \choose {{n-2} \over 2}} \cos {2 x} \right ] + {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}$

$\cos^n x = {\left ( {1 \over 2} \right ) }^{n - 1} \left [ \cos {n x} + {n \choose 1} \cos {(n - 2) x} + {n \choose 2} \cos {(n - 4) x} + {n \choose 3} \cos {(n - 6) x} + \cdots + {n \choose {{n-2} \over 2}} \cos {2 x} \right ] + {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}$

Розклади в ряд Тейлора

Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

$\begin{align} \tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2} \end{align}$

де

U_n n-те перетворення Бустрофедона,

B_n числа Бернуллі, та

E_n числа Ейлера.

$\begin{align} \csc x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi \end{align}$

$\begin{align} \sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\ & {} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2} \end{align}$

$\begin{align} \cot x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi \end{align}$

Зв'язок з експонентою та комплексними числами

Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції sin та cos є уявною та дійсною частинами експоненти чисто уявного числа:

$e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \,$

Це співвідношення називається формулою Ейлера.

Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної z:

$\sin z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{i z} - e^{-i z} \over 2i} = -i \sinh \left( i z\right),$

$\cos z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{i z} + e^{-i z} \over 2} = \cosh \left(i z\right)$

де i ² = −1, а $\sinh x$ та $\cosh x$ - відповідно гіперболічні синус та косинус. Для дійсного x мають місце співвідношення

$\cos x = \mbox{Re } (e^{i x})~,~~~~\sin x = \mbox{Im } (e^{i x})$

Комплексний синус

Комплексний косинус

Комплексний тангенс

Диференціювання та інтегрування

$\ \ \ \ f(x)$	$\frac{d}{dx} f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$\,\ \sin x$	$\,\ \cos x$	$\,\ -\cos x + C$
$\,\ \cos x$	$\,\ -\sin x$	$\,\ \sin x + C$
$\,\ \tan x$	$\,\ \sec^{2} x$	$-\ln \left |\cos x\right | + C$
$\,\ \cot x$	$\,\ -\csc^{2} x$	$\ln \left |\sin x\right | + C$
$\,\ \sec x$	$\,\ \sec{x}\tan{x}$	$\ln \left |\sec x + \tan x\right | + C$
$\,\ \csc x$	$\,\ -\csc{x}\cot{x}$	$-\ln \left |\csc x + \cot x\right | + C$

Джерела

• Г. Корн и Т. Корн «Справочник по математике для научних работников и инженеров»

Див. також

• Обернені тригонометричні функції
• Екзотичні тригонометричні функції
• Список тригонометричних тотожностей
• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
• Інтегральні тригонометричні функції
• Тригонометрія

Посилання

• FIZMA.neT - Математика онлайн
• Тригометричні функції. Заняття 10-11