Скалярна кривина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Скалярна кривина (або скаляр Річі) — найпростіший з можливих інваріантів кривизни Ріманових многовидів. Кожній точці многовиду вона ставить у відповідність одне дійсне число, яке визначається внутрішньою геометрією многовида в околиці цієї точки. Зокрема, скалярна кривина виражає значення об'єму на який відрізняються геодезичні кулі у викривленому рімановому многовиді і в евклідовому просторі. Отримується згорткою тензора Річчі з метричним тензором

R \,= g^{\mu\nu} \, R_{\mu\nu}

Рівняння гравітаційного поля[ред.ред. код]

В загальної теорії відносності функціонал дії для гравітаційного поля виражається за допомогою інтеграла по чотиривимірному об'єму від скалярної кривизни:

S_{G} = \varkappa\int\limits_{M}R\sqrt{-g}d\Omega

Тому рівняння гравітаційного поля можуть бути отримані шляхом взяття похідної Ейлера-Лагранжа від скалярної густини кривизни  \sqrt{-g} \, R [1].

Двовимірні поверхні[ред.ред. код]

Для двовимірних ріманових многовидів скалярна кривизна збігається з гаусовой кривиною многовиду. Інтеграл по гаусовій кривині дорівнює ейлеровой характеристиці поверхні помноженої на  2\pi - це твердження становить суть теореми Гауса-Бонне.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Наукова Мережа>> Теорія відносності для астрономів