Розширення поля

Розширення поля — поле $L$ для якого поле $K$ є підполем.

Позначається $L/K$.

Класифікація

Скінченні і нескінченні розширення

Довільне розширення $L/K$ також є векторним простором над $K$. Розмірність цього векторного простору позначається $[L:K]$.

• Скінченним розширенням називається розширення, що є скінченновимірним векторним простором над $K$.

• В іншому випадку розширення називається нескінченним.

Прості і скінченнопороджені розширення

Якщо $L/K$ — деяке розширення поля $K$, а $S$ підмножина $L$, що не має спільних елементів з $K$, то $K(S)$ позначає найменше поле, що містить $K$ і $S$.

• Просте розширення — розширення, породжене одним елементом $E=K(\alpha )$. Цей елемент називають первісним елементом.
• Скінченно породжене розширення — розширення $L$, яке породжене скінченною кількістю елементів: $L=K(\alpha _{1},\ldots \alpha _{n})$.

Алгебричні і трансцендентні розширення

Елемент з $L$, що є коренем ненульового многочлена з коефіцієнтами з $K$ називається алгебричним в розширенні $L/K$. Елемент $L$, що не є алгебричним називається трансцендентним.

• Алгебричне розширення — розширення $L/K$, всі елементи якого є алгебричними над $K$.
• Розширення, що містить трансцендентні елементи називається трансцендентним розширенням.

Нормальні, сепарабельні розширення

• Нормальне розширення — алгебричне розширення $L$, для якого кожен незвідний многочлен $f(x)$ над $K$, що має хоч би один корінь в $L$, розкладається в $L$ на лінійні множники.
• Сепарабельне розширення — алгебричне розширення, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів $\alpha$, мінімальний многочлен $f(x)$, над $K$ для яких не має кратних коренів.
• Розширення Галуа — алгебричне розширення, що є нормальним і сепарабельним.

Приклади

• Поле $\mathbb {C}$ комплексних чисел є скінченним і алгебричним розширенням поля $\mathbb {R}$ дійсних чисел. Дане розширення є розширенням Галуа і полем розкладу многочлена $\ x^{2}+1$. Воно є простим розширенням (породжуючим елементом є $\ i.$

• Поле $\mathbb {R}$ дійсних чисел є нескінченним, трансцендентним розширенням поля $\mathbb {Q}$ раціональних чисел. Прикладами трансцендентних елементів можуть бути, наприклад числа e і π.

• Іншим прикладом розширення поля раціональних чисел є поле p-адичних чисел.

• Усі розширення полів характеристики 0 і скінченних полів є сепарабельними.

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 .