Скінченні різниці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Скінченна різниця — математичний вираз виду f(x + b) − f(x + a), що широко використовується в числових методах в методі скінченних різниць для апроксимації значень функції та її похідних.

Права, ліва та центральна різниця[ред.ред. код]

Права різниця — вираз виду:

\ \Delta_h[f](x) =  f(x + h) - f(x).

Ліва різниця — вираз виду:

\ \nabla_h[f](x) =  f(x) - f(x-h).

Центральна різниця — вираз виду:

\ \delta_h[f](x) =  f(x+\tfrac12h)-f(x-\tfrac12h).

Зв'язок з похідною[ред.ред. код]

Похідна функції f в точці x визначена, як границя розділеної різниці

\ f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} =  \lim_{h\to0} \frac{\Delta_h[f](x)}{h}

Отже, права різниця поділена на h апроксимує похідну, якщо h є малим. Похибка апроксимації отримується з теореми Тейлора.

Ліва та центральна різниці теж апроксимують похідну:

\ \frac{\Delta_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0).
\ \frac{\nabla_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h).
\ \frac{\delta_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h^{2}).

Різниці вищих порядків[ред.ред. код]

Аналогічно до похідних вищих порядків можна отримати скінченні різниці вищих порядків. Наприклад, застосувавши центральну різницю в формулах f'(x+h/2) та f'(x-h/2) для апроксимації другої похідної  f в точці x, отримаємо:

 f''(x) \approx \frac{\delta_h^2[f](x)}{h^2} =  \frac{f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)}{h^{2}} .

В загальному випадку, праві, ліві та центральні різниці nth-того порядку виражаються формулами:

\Delta^n_h[f](x) = 
\sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x + (n - i) h),
\nabla^n_h[f](x) = 
\sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x - ih),
\delta^n_h[f](x) = 
\sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f\left(x + \left(\frac{n}{2} - i\right) h\right).

Для непарних n, коефіцієнт перед h буде не цілим. Це часом є проблемою, оскільки h є інтервалом дискретизації. Для вирішення проблеми використовують середнє від \delta^n[f](x - h/2) та \delta^n[f](x + h/2).

Зв'язок скінченних різниць вищих порядків з похідними вищих порядків:

\frac{d^n f}{d x^n}(x) = \frac{\Delta_h^n[f](x)}{h^n}+O(h) = \frac{\nabla_h^n[f](x)}{h^n}+O(h) = \frac{\delta_h^n[f](x)}{h^n} + O(h^2).

Скінченні різниці вищих порядків можуть використовуватись для покращення апроксимації. Наприклад:

 \frac{\Delta_h[f](x) - \frac12 \Delta_h^2[f](x)}{h} = - \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}

апроксимає f'(x) з точністю до h2. Доводиться записом вищенаведеного виразу через ряд Тейлора та зведенням подібних доданків.