Скінченні різниці
Скінченна різниця — математичний вираз виду f(x + b) − f(x + a), що широко використовується в числових методах в методі скінченних різниць для апроксимації значень функції та її похідних.
Права, ліва та центральна різниця [ред.]
Права різниця — вираз виду:
 = f(x + h) - f(x).](http://upload.wikimedia.org/math/e/1/d/e1dabd7ee151bb809346e54382c788bd.png)
Ліва різниця — вираз виду:
 = f(x) - f(x-h).](http://upload.wikimedia.org/math/e/c/4/ec48cd633195df646c337ee855e23766.png)
Центральна різниця — вираз виду:
 = f(x+\tfrac12h)-f(x-\tfrac12h).](http://upload.wikimedia.org/math/1/3/7/137f05657d87fab8971457320b7a7cb0.png)
Зв'язок з похідною [ред.]
Похідна функції f в точці x визначена, як границя розділеної різниці
}{h}](http://upload.wikimedia.org/math/1/9/e/19edb5f5a2d36495ff122c31033b6599.png)
Отже, права різниця поділена на h апроксимує похідну, якщо h є малим. Похибка апроксимації отримується з теореми Тейлора.
Ліва та центральна різниці теж апроксимують похідну:
}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0).](http://upload.wikimedia.org/math/b/1/8/b1887640780eb436e61def4bdb82b8d8.png)
}{h} - f'(x) = O(h).](http://upload.wikimedia.org/math/a/3/2/a32972c38c9fd11974af834a2c41838c.png)
}{h} - f'(x) = O(h^{2}).](http://upload.wikimedia.org/math/6/7/1/67116c7a6883135b98898eb3cae1e760.png)
Різниці вищих порядків [ред.]
Аналогічно до похідних вищих порядків можна отримати скінченні різниці вищих порядків. Наприклад, застосувавши центральну різницю в формулах 
та 
для апроксимації другої похідної 
в точці x, отримаємо:
}{h^2} = \frac{f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)}{h^{2}} .](http://upload.wikimedia.org/math/1/9/5/1953a53dd7b94b8f9a1a3dff7d3d322b.png)
В загальному випадку, праві, ліві та центральні різниці nth-того порядку виражаються формулами:
 =
\sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x + (n - i) h),](http://upload.wikimedia.org/math/a/2/5/a25c0e912e46484437a236128eda063d.png)
 =
\sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x - ih),](http://upload.wikimedia.org/math/9/0/6/90621614d2f6c04fe52246fc9e8ca7e6.png)
 =
\sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f\left(x + \left(\frac{n}{2} - i\right) h\right).](http://upload.wikimedia.org/math/6/8/2/682eb520a31cb9c590269e244010b0a9.png)
Для непарних 
, коефіцієнт перед 
буде не цілим. Це часом є проблемою, оскільки є інтервалом дискретизації. Для вирішення проблеми використовують середнє від ](http://upload.wikimedia.org/math/f/3/a/f3a7dd5eddc46d291556941e3a12ab22.png)
та ](http://upload.wikimedia.org/math/9/c/8/9c8c87e86a3132e62c24608719e3f024.png)
.
Зв'язок скінченних різниць вищих порядків з похідними вищих порядків:
}{h^n}+O(h)](http://upload.wikimedia.org/math/2/d/1/2d120533be03a29b422296ee3487ae36.png)
}{h^n}+O(h)](http://upload.wikimedia.org/math/6/3/0/630870d63a734696aac48668362453a4.png)
}{h^n} + O(h^2).](http://upload.wikimedia.org/math/3/9/3/393e90ca5911b6e9458ecf95592a4a68.png)
Скінченні різниці вищих порядків можуть використовуватись для покращення апроксимації. Наприклад:
 - \frac12 \Delta_h^2[f](x)}{h} = - \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}](http://upload.wikimedia.org/math/f/c/7/fc70d2c77bc379db24104f3ec369d28d.png)
апроксимає f'(x) з точністю до h2. Доводиться записом вищенаведеного виразу через ряд Тейлора та зведенням подібних доданків.
 |
Ця стаття не містить посилань на джерела. (грудень 2010) |
