Слабке гравітаційне поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Ейнштейна, виведене із принципів загальної теорії відносності:

(1) \qquad R_{ij} - {R \over 2} g_{ij} = k T_{ij}

є нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку щодо невідомих компонент метричного тензора g_{ij}. Існує практичний інтерес випадок настільки слабкого гравітаційного поля, щоб нелінійностями можна було знехтувати і одержати наближене рівняння, яке близьке до класичного закону Всесвітнього тяжіння, але з релятивістськими поправками. Це наближене рівняння можна застосовувати в межах Сонячної системи і навіть при розгляді галактик — адже типові швидкості зірок в галактиках більш ніж у тисячу разів менші за швидкість світла.

Є ще одна причина розглянути лінеаризоване рівняння (1) - знайти константу k при тензорі енергії-імпульсу, яка залишилася невідомою при виводі рівняння Ейнштейна (1).

Лінеаризація рівняння Ейнштейна[ред.ред. код]

Знаходження варіації тензора Річчі[ред.ред. код]

Нехай ми маємо якийсь розподіл матерії в просторі (який задано компонентами тензора енергії-імпульсу T_{ij} як функціями координат). І нехай для цього (базового) розподілу рівняння (1) уже розв'язане, тобто відомий метричний тензор g_{ij}, а отже і тензор Рімана R^s_{\; ijk}. Поряд з цим базовим розподілом матерії T_{ij} розглянемо і дещо змінений розподіл \tilde T_{ij}:

(2) \qquad \tilde T_{ij} = T_{ij} + \delta T_{ij}

який відрізняється від базового на малу величину \delta T_{ij}. Звичайно, мализну цієї добавки ми визначаємо так, щоб в результаті розв'язку рівняння (1) з новим тензором \tilde T_{ij} ми одержали малу (порівняно з одиницею) зміну метричного тензора:

(3) \qquad \tilde g_{ij} = g_{ij} + \delta g_{ij}; \qquad \big| \delta g_{ij} \big| \ll 1

Звичайно, за земними мірками тензор \delta T_{ij} може бути не таким вже й маленьким — наприклад планетою, зіркою, газовою туманністю, головне щоб зміна метричного тензора \delta g_{ij} була малою. Цю зміну \delta g_{ij} ми називатимемо варіацією, її ми і будемо шукати (базове рівняння вважається розв'язаним). Із варіації метричного тензора \delta g_{ij} можна досить легко одержати варіації символів Крістофеля \delta \Gamma^s_{ij} і тензора Рімана R^s_{\; ijk} (подробиці обчислень в статті Допоміжні інтеграли з варіаціями):

(4) \qquad \delta \Gamma^s_{ij} = {1 \over 2} g^{sp} \left (\nabla_i \delta g_{pj} + 
\nabla_j \delta g_{ip} - \nabla_p \delta g_{ij} \right )
(5) \qquad \delta R^s_{\; ijk} = \nabla_j \delta \Gamma^s_{ki} - \nabla_k \delta \Gamma^s_{ji}

Для наших цілей треба обчислити в першу чергу варіацію тензора Річчі \delta R_{ij}. Згорнемо формулу (5) за індексами (sj) і підставимо сюди варіації символів Крістофеля \delta \Gamma^s_{ij} із формули (4). Зручно також домножити одержану формулу на два, щоб компенсувати коефіцієнт в правій частині (4):

(6) \qquad 2 \delta R_{ik} = 2 \nabla_s \left ( \delta \Gamma^s_{ki} \right ) - 2 \nabla_k \left (\delta \Gamma^s_{si} \right ) =
 g^{sp} \nabla_s \left ( \nabla_k \delta g_{pi} + \nabla_i \delta g_{kp} - \nabla_p \delta g_{ki} \right ) -
g^{sp} \nabla_k \left ( \nabla_s \delta g_{pi} + \nabla_i \delta g_{sp} - \nabla_p \delta g_{si} \right )

Звернемо увагу на перший і третій доданки в останніх дужках: \nabla_s \delta g_{pi} і - \nabla_p \delta g_{si}. Вони переходять один в другий (з відповідним знаком) при перестановці індексів (p, s). Але вся ця дужка згортається із симетричним тензором g^{ps}, в результаті згортки ці два доданки взаємо-знищуюються, і ми одержуємо наступну формулу для варіації тензора Річчі (заодно перейменуємо заради естетики індекс k на j):

(7) \qquad 2 \delta R_{ij} = \nabla^p \nabla_j \delta g_{pi} + \nabla^p \nabla_i \delta g_{pj} -
\left ( g^{sp} \nabla_s \nabla_p \right ) \delta g_{ij} - \nabla_j \nabla_i \left ( g^{sp} \delta g_{sp} \right )

Оператор в третьому доданку - це просто лапласіан \nabla^2 (оператор Лапласа-Бельтрамі). Останній доданок є симетричним по індексах (ij) як друга похідна скаляра:

(8) \qquad \nabla_j \nabla_i \phi = \nabla_j \left( \partial_i \phi\right ) = \partial_i \partial_j \phi - \Gamma^s_{ij} \partial_s \phi

а перші два доданки переходять один в другий при перестановці індексів (ij). Перепишемо формулу (7) ще раз:

(9) \qquad 2 \delta R_{ij} = \nabla^p \nabla_j \delta g_{pi} + \nabla^p \nabla_i \delta g_{pj} -
\nabla^2 \delta g_{ij} - \nabla_i \nabla_j \left ( g^{sp} \delta g_{sp} \right )

Лінійна заміна змінних[ред.ред. код]

Формула (9) лінійна щодо невідомих варіацій метричного тензора \delta g_{ij}, але надто громіздка. Сюди входять різнородні другі похідні, до того ж компоненти невідомих \delta g_{ij} перемішані. Очевидно, ця ж неприємність залишиться, якщо ми будемо обчислювати варіацію від тензора Ейнштейна:

(10) \qquad G_{ij} = R_{ij} - {R \over 2} g_{ij}

Допомогти може лінійна заміна невідомих (ми діагоналізуємо лінійні рівняння). В загальному випадку ми вводимо нові невідомі - тензор h_{ij}, через який виражаються варіації метричного тензора:

(11) \qquad \delta g_{ij} = a^{kl}_{ij} h_{kl}

Що робити далі, підходи відрізняються для математика і фізика. Математик підставить (11) в лінеаризоване рівняння Ейнштейна, і шукатиме зв'язки на постійні коефіцієнти a^{kl}_{ij}, при яких лінеаризоване рівняння Ейнштейна спроститься. Фізик же може скористатися міркуваннями симетрії та інтуїцією, щоб відгадати вид найкращої заміни змінних. Дійсно, оскільки рівняння Ейнштейна тензорне, то і коефіцієнти (11) мають бути тензорами. Просто якийсь довільний тензор зі сторони може тільки ускладнити задачу. Тому розглянемо в першу чергу такі коефіцієнти a^{kl}_{ij}, які залежать тільки від метричного тензора g_{ij}. І навіть конкретніше, спробуємо заміну, аналогічну тому, як в формулі (10) тензор Ейнштейна G_{ij} залежить від тензора Річчі R_{ij}. Отже, нехай:

(12) \qquad \delta g_{ij} = h_{ij} - {h \over 2} g_{ij}; \qquad h = g^{ij} h_{ij}

Ця заміна оборотна, і ми можемо виразити h_{ij} через \delta g_{ij}. Для цього знайдемо слід формули (12):

(13) \qquad g^{ij} \delta g_{ij} = g^{ij} h_{ij} - {h \over 2} g^{ij} g_{ij} = h - 2 h = - h

Тут ми скористалися формулою згортки метричного тензора (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії):

(14) \qquad g^{ij} g_{ij} = 4

Із формул (12) і (13) знаходимо:

(15) \qquad h_{ij} = \delta g_{ij} - {1 \over 2} \left ( g^{ps} \delta g_{ps} \right ) g_{ij}

Підставимо заміну (12) і (13) в перший, другий і четвертий доданок формули (9). Одержуємо:

(16) \qquad 2 \delta R_{ij} = \nabla^p \nabla_j h_{pi} - {g_{pi} \over 2} \nabla^p \nabla_j h + 
\nabla^p \nabla_i h_{pj} - {g_{pj} \over 2} \nabla^p \nabla_i h -
\nabla^2 \delta g_{ij} + \nabla_i \nabla_j h

Очевидно, мішана похідна \nabla_i \nabla_j h скорочується, і ми одержуємо рівняння з трьома доданками:

(17) \qquad 2 \delta R_{ij} = \nabla^p \nabla_j h_{pi} + \nabla^p \nabla_i h_{pj} - \nabla^2 \delta g_{ij}

Далі, придивимося уважніше до перших двох доданків формули (12). Ми можемо і їх обнулити, якщо дивергенція від h_{ij} дорівнюватиме нулю:

(18) \qquad \nabla^j h_{ij} = 0

Але чи можемо ми сподіватися на цю рівність? Відповідь ствердна, оскільки в компонент метричного тензора є чотири степені свободи, коли сам многовид чотиривимірного простору-часу і його метрика не змінюються, а міняється тільки система координат. Дійсно, нехай нові координати \hat x^i відрізняються від старих на малий вектор v^i:

(19) \qquad \hat x^i = x^i + v^i; \qquad {\partial \hat x^i \over \partial x^j} = \delta^i_j + {\partial v^i \over \partial x^j}

Деяка точка P має координати \hat x^i в нових координатах і x^i + v^i в старих. Запишемо квадрат "відстані" від цієї точки до близької точки P' в нових і старих координатах:

(20) \qquad d s^2 = \hat g_{ij} (\hat x) d \hat x^i d \hat x^j = g_{ij} (x + v) d x^i d x^j

Тоді метричні тензори в цих системах координат відрізняються на величину:

(21) \qquad \delta g'_{ij} = \hat g_{ij} (\hat x) - g_{ij} (x) = - \left ( \nabla_i v_j + \nabla_j v_i \right )

Якщо ми до варіації \delta g_{ij} в формулі (15) додамо неістотний доданок (21) і візьмемо дивергенцію, то матимемо рівняння для вектора v^i (чотири диференціальні рівняння з чотирма невідомими):

(22) \qquad 0 = \nabla^j h_{ij} = \nabla^j \left (\delta g_{ij} - {1 \over 2} \left ( g^{ps} \delta g_{ps} \right ) g_{ij} \right ) - \nabla^j \left ( \nabla_i v_j + \nabla_j v_i \right ) + {1 \over 2} \nabla_i ( 2 \nabla^s v_s)

Припустмо, що ці рівняння розв'язуються, тоді при варіації метрики \delta g_{ij} ми синхронно змінюємо систему координаттаким чином, щоб лінеаризоване рівняння Ейнштейна було найпростішим.

Маючи рівність (18), обчислимо перший доданок (17), записуючи дію комутатора коваріантних похідних на тензор h_{ij} через суму згорток (за кожним з двох індексів) цього тензора з тензором Рімана:

(23) \qquad \nabla^p \nabla_j h_{pi} = \left [ \nabla^p \nabla_j \right ] h_{pi} = 
- R^s_j h_{si} - R_{sipj} h^{sp}

тоді формула (17) запишеться так:

(24) \qquad 2 \delta R_{ij} = - \nabla^2 g_{ij} - \left ( R^s_i h_{sj} + R^s_j h_{si} \right ) - 2 R_{sipj} h^{sp}

У цій формулі ми перенесли доданки з кривиною на кінець, оскільки вони звичайно малі у порівнянні з першим доданком. Їх треба враховувати хіба що в задачі визначення траєкторії руху гравітаційні хвилі в гравітаційному полі.

Якщо ми візьмемо за базовий розв'язок плоский простір без матерії:

(25) \qquad T_{ij} =0; \qquad R^s_{\;ijk} = 0

то одержимо досить просту формулу для варіації тензора Річчі:

(26) \qquad \delta R_{ij} = - {1 \over 2} \nabla^2 \delta g_{ij}

Завершення виводу лінеаризованого рівняння[ред.ред. код]

Маючи варіацію тензора Річчі (26), і умову R_{ijkl} = 0, знайдемо спочатку варіацію скалярної кривини:

(27) \qquad \delta R = \delta \left (g^{ij} R_{ij} \right ) = g^{ij} \delta R_{ij} = {1 \over 2} \nabla^2 h

Далі шукаємо варіацію тензора Ейнштейна:

(28) \qquad \delta G_{ij} = \delta R_{ij} - {1 \over 2} \delta \left ( g_{ij} R \right ) = 
- {1 \over 2} \nabla^2 \delta g_{ij} - {1 \over 2} g_{ij} \left ( {1 \over 2} \nabla^2 h \right ) =
- {1 \over 2} \nabla^2 \left ( \delta g_{ij} + {h \over 2} g_{ij} \right ) = - {1 \over 2} \nabla^2 h_{ij}

Таким чином, лінеаризоване рівняння Ейнштейна має такий вигляд:

(29) \qquad -{1 \over 2} \nabla^2 h_{ij} = k T_{ij}

Порівняння з формулами для класичної теорії Всесвітнього тяжіння[ред.ред. код]

Нехай ми маємо статичний розподіл мас у тривимірному просторі:

(30) \qquad \rho = \rho(x, y, z)

Тензор енергії-імпульса приблизно матиме такий вигляд:

(31) \qquad (T_{ij}) = \begin{bmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

оскільки тензор напруг речовини \sigma_{ij} набагато менший за величиною за енергію спокою \rho c^2, і ним можна знехтувати.

Система рівняннь (29) є діагональною в декартовій системі координат, і розпадається на 16 незалежних рівнянь, по одному на кожну компоненту h_{ij}. Маючи на увазі (31), тільки одне з цих рівнянь має ненульову праву частину:

(32) \qquad - {1 \over 2} \nabla^2 h_{00} = k c^2 \rho

Решту п'ятнадцять рівнянь легко розв'язати, вибравши нульовий розв'язок: h_{ij} = 0 коли індекси не дорівнюють нулю одночасно. Тепер матриця шуканого тензора h_{ij} матиме вигляд, аналогічний до (31):

(33) \qquad (h_{ij}) = \begin{bmatrix} h_{00} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Для рівняння (32), з огляду на (30), можна шукати статичний розв'язок:

(34) \qquad h_{00} = h_{00} (x, y, z)

Для цього нам досить пересвідчитися, що система чотирьох рівняннь (18) автоматично задовольняється. Нетривіальне рівняння маємо лише одне із чотирьох, коли i = 0:

(35) \qquad \nabla^j h_{0j} = \partial_0 h_{00} - \partial_1 h_{01} - \partial_2 h_{02} - \partial_3 h_{03} = 0

Перший доданок перетворюється в нуль, оскільки згідно з (34) h_{00} не залежить від часу. Решта доданків дорівнюють нулю окільки h_{0i} = 0 в матриці (33). Чотиривимірний оператор Лапласа в формулі (32) в декартовій системі координат записується як даламберіан:

(36) \qquad \nabla^2 = \Box = {\partial^2 \over \left ( \partial x^0 \right ) ^2} - \Delta

де грецькою буквою \Delta позначено тривимірний оператор Лапласа:

(37) \qquad \Delta = {\partial^2 \over \partial x ^2} +  {\partial^2 \over \partial y ^2} +  
{\partial^2 \over \partial z ^2}

Оскільки похідна по часовій змінній x^0 від функції (34) дорівнює нулю, то формулу (32) ми можемо записати виключно в тривимірних координатах:

(38) \qquad {1 \over 2} \Delta h_{00} = k c^2 \rho

Тепер ми можемо порівняти формулу (38) з класичною формулою для гравітаційного потенціалу \phi:

(39) \qquad \Delta \phi = 4 \pi G \rho

Величина h_{00} і гравітаційний потенціал \phi пов'язані між собою через часову компонету метричного тензора:

(40) \qquad \tilde g_{00} = 1 + {2 \phi \over c^2}
(41) \qquad \tilde g_{00} = g_{00} + h_{00} - {h \over 2} g_{00} = 1 + {h_{00} \over 2}; \qquad 
\left ( h = g^{ij} h_{ij} = h_{00} \right )

звідки отримуємо:

(42)\qquad {2 \over c^2} \phi = {1 \over 2} h_{00}

Взявши тривимірний лапласіан \Delta від правої і лівої частин рівняння (42), легко знаходимо невідомий раніше коефіцієнт k рівняння Ейнштейна:

(43) \qquad {2 \over c^2} 4 \pi G \rho = k c^2 \rho
(44) \qquad k = {8 \pi G \over c^4}

Деформація метрики в слабкому гравітаційному полі[ред.ред. код]

Формули (42) і (33) дають змогу записати тензор h_{ij} через гравітаційний потенціал:

(45) \qquad h_{00} = {4 \phi \over c^2}; \qquad h_{ij} = 0 \; \mbox{ if } (ij) \ne {00}

Із формули (12) знаходимо компоненти метричного тензора:

(46) \qquad g_{00} = g_{00} + h_{00} - {h_{00} \over 2} g_{00} = 1 + {h_{00} \over 2} = 1 + {2 \phi \over c^2}
\qquad \tilde g_{ii} = g_{ii} + h_{ii} - {h_{00} \over 2} g_{ii} =
 -1 + 0 - {2 \phi \over c^2 } (-1) = -1 + {2 \phi \over c^2};  \qquad i = \{1, 2, 3 \}
\qquad \tilde g_{ij} = g_{ij} + h_{ij} - {h_{00} \over 2} g_{ij} = 0 + 0 - 0 = 0; \qquad i \ne j

Ці формули ми можемо записати у вигляді матриці:

(47) \qquad (\tilde g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 + {2 \phi \over c^2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 + {2 \phi \over c^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 + {2 \phi \over c^2}  & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 + {2 \phi \over c^2}  \end{bmatrix}

Оскільки гравітаційний потенціал від'ємний, то з формули (47) слідує, що під дією сили тяжіння плин часу уповільнюється:

(48) \qquad \tilde g_{00} < 1

а простір в такій же пропорції розтягується:

(49) \qquad \big| \tilde g_{ii} \big| > 1

Теоретичні наслідки лінеаризованого рівняння Ейнштейна[ред.ред. код]

Із рівняння (29) можна вивести, аналогічно запізнюючим потенціалам в електродинаміці, що гравітаційне поле поширюється не миттєво, а зі швидкістю світла. Більше того, можна одержати рівняння для гравітаційних хвиль. Є ще один цікавий ефект - породження аналога сили Коріоліса внаслідок обертання мас. Тобто, наприклад площина коливань маятника Фуко на полюсі Землі не буде фіксованою щодо віддалених зірок, а повільно обертатиметься (дивіться статтю Обертання інерційної системи відліку). Описані вище ефекти дуже малі і не підтверджені експериментально. Такі експерименти можуть підвердити або спростувати загальну теорію відносності.