Словник термінів теорії груп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Для загального ознайомлення з теорією груп див. Група (математика) і Теорія груп.

Курсив позначає посилання на цей словник.


Зміст: А Б В Г Ґ Д Е Є Ж З И І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я


P[ред.ред. код]

P-група — група, всі елементи якої мають порядок, рівний деякому степеню простого числа p (не обов'язково однаковому в усіх елементів). Також говорять про примарну групу.

А[ред.ред. код]

Абелева група — комутативна група.

Абелізація групи G — фактор-група G/[G,G]

Адитивна група кільця — група, елементами якої є всі елементи даного кільця, а операція збігається з операцією додавання в кільці.

Антигомоморфізм групвідображення груп  f: (G, *) \to (H, \times) таке, що

 f (a * b) = f (b) \times f (b)

для довільних a і b в G (порівняйте з гомоморфізмом).

Абсолютно регулярна p-група — скінченна p-група, в якій  | G \,: \, pG | <p ^ p , де  pG — підгрупа  G , утворена p-ми степенями її елементів.

В[ред.ред. код]

Вільна група, породжена множиною A — група, породжена елементами цієї множини, що не має жодних співвідношень, крім співвідношень, що визначають групу. Всі вільні групи, породжені равнопотужними множинами, ізоморфні.

Г[ред.ред. код]

Головний ряд підгруп - ряд підгруп, в якому  G_ {i} — максимальна нормальна в  G підгрупа з  G_ {i +1} , для всіх членів ряду.

Гомоморфізм групвідображення груп  f: (G, *) \to (H, \times) таке, що

 F (a * b) = f (a) \times f (b)
для довільних a і b в G.

Група Шмідта — це ненільпотентна група, всі власні підгрупи якої нільпотентні.

Група Міллера — Морено — це неабелева група, всі власні підгрупи якої абелеві.

Групова алгебра групи G над полем K — це векторний простір над K, твірними якого є елементи G, а множення відповідає множенню елементів G.

Д[ред.ред. код]

Дія групи

Довжина ряду підгруп — число  n у визначенні ряду підгруп.

І[ред.ред. код]

Ізоморфізм групбієктивний гомоморфізм.

Ізоморфні групи — групи, між якими існує хоча б один ізоморфізм.

Індекс підгрупи H у групі G — число суміжних класів в кожному (правому або лівому) з розкладів групи G за цією підгрупою H.

Індекси ряду підгруп — індекси  | G_{i+1}: G_{i} | у визначенні субнормального ряду підгруп.

К[ред.ред. код]

Клас суміжності/суміжний клас (лівий або правий) підгрупи H в G. Лівий клас суміжності елемента  g \in G по підгрупі H в G це множина

gH= \{gh|h\in H\}.

Аналогічно визначається правий клас суміжності:

Hg= \{hg|h\in H\}.

Клас спряженості елемента g \in G це множина

\{hgh^{-1}|h\in G\}.

Комутантом групи є підгрупа, породжена всіма комутаторами групи, зазвичай позначається [G, G] або G\; '.

Комутативна група Група G є комутативною, або абелевою, якщо її операція * комутативна, тобто g*h=h*g \forall g, h \in G.

Комутатор елементів g і h є елемент [g, h] = ghg​​-1h-1. Елементи g і h називають комутуючими, якщо їх комутатор дорівнює одиничному елементу групи (таке відбувається коли  gh = hg ).

Комутатор підгруп — множина всіляких добутків \left\lbrace[g, h]| g\in G, h\in H \right\rbrace.

Композиційний ряд групиG-ряд підгруп, в якому всі фактори  G_ {i +1} / G_i прості групи.


Кручення, TorG, комутативної або нільпотентної групи G — підгрупа всіх елементів скінченного порядку.

Л[ред.ред. код]

Локальна властивість групи  G . Кажуть, що група  G має локальним властивістю  P , якщо будь-яка звичайно породжена підгрупа з  G володіє цією властивістю. Прикладами можуть служити локальна кінцівку, локальна нільпотентності.

Локальна теорема. Кажуть, що для деякої властивості  P груп справедлива локальна теорема, якщо будь-яка група,локально володіє цією властивістю, сама має їм.

Наприклад: локально абелева група є абелевої, але локально кінцева група може бути нескінченною.

М[ред.ред. код]

Метабелева група — група, другий комутант якої тривіальний (розв'язна степеня 2).

Метациклчіна група — група, що має циклічну нормальну підгрупу, факторгрупа по якій також циклічна. Будь-яка скінченна група, порядок якої вільний від квадратів (тобто не ділиться на квадрат будь-якого числа), є метациклічною.

Мінімальна нормальна підгрупа

Мультиплікативна група тіла — група, елементами якої є всі ненульові елементи даного тіла, а операція збігається з операцією множення в тілі.

Н[ред.ред. код]

Напівпрямий добуток груп G і H над гомоморфізмом \phi: G \rightarrow \mbox {Aut}(H) (позначається по різному, в тому числі Gφ H) — множина G × H, наділена операцією *, для якої (g_1, h_1) * (g_2, h_2) = (g_1\phi(h_1)(g_2), h_1h_2) для будь-яких  g_1, g_2 \in G ,  h_1, h_2 \in H .

Нільпотентна група — група, що має центральний ряд підгруп. Мінімальна з довжин таких рядів називається її класом нільпотентності.

Норма групи — сукупність елементів групи, переставних з усіма підгрупами, тобто перетин' 'нормалізаторів всіх її підгруп.

Нормалізатор підгрупи H в G — максимальна підгрупа G, в якій H нормальна. Інакше кажучи, нормалізатор є стабілізатором Hпри дії G на множині своїх підгруп спряженнями, тобто

N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа, нормальний дільник). H є нормальною підгрупою G, якщо для будь-якого елементу g в G gH=Hg, тобто праві і ліві класи суміжності H в G збігаються. Інакше кажучи, якщо \forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H.

Нормальний ряд підгрупряд підгруп, в якому  G_i нормальна в  G , для всіх членів ряду.

П[ред.ред. код]

Переставні елементи — пара елементів  a, b \in G такі що  ab = ba .

Період групинайменше спільне кратне порядків елементів даної групи.

Періодична група — група, кожен елемент якої має скінченний порядок.

Підгрупа — підмножина H групи G, яка є групою щодо операції, визначеної в G.

Підгрупа кручення див. кручення.

Для довільної підмножини S в G, <S> позначає найменшу підгрупу G, яка містить S.

Підгрупа Томпсона J(G) групи G — підгрупа, породжена всіма абелевих підгрупами максимального порядку з G.

Підгрупа Фіттінга F(G) групи G — підгрупа, породжена всіма нільпотентними нормальними підгрупами з G.

Підгрупа Фраттіні  \phi (G) групи  G - є перетин всіх максимальних підгруп групи  G , якщо такі є, та сама група  G у противному випадку.

Полінільпотентна група

Порядок групи (G,*) — потужність G (для скінченних груп просто кількість елементів).

Порядок елемента g групи G — мінімальне натуральне число m таке, що gm = e. У разі, якщо такого m не існує, вважається, що g має нескінченний порядок.

Природний гомоморфізм на фактор-групу за нормальною підгрупою  H — це гомоморфізм, що ставить у відповідність кожному елементу  a групи суміжний клас  aH . Ядром цього гомоморфізму є підгрупа  H .

Примарна група — група, всі елементи в якій мають порядок, рівний деякому степеню простого числа p (не обов'язково однакового для всіх елементів). Також говорять про p-групи.

Проста група — група, в якій немає нормальних підгруп, крім тривіальної {e} і всієї групи.

Прямий добуток двох груп (G,·) і (H, •) — множина G×H пар, з операцією покомпонентного множення: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2, h 1h2).

Р[ред.ред. код]

Розширення групи — група, для якої дана група є нормальною підгрупою.

Розв'язна група — група, що володіє нормальним рядом підгруп з абелевими факторами. Найменша з довжин таких рядів називається її степенем розв'язності.

Розв'язний радикал S(G) групи  G — підгрупа, породжена всіма розв'язними нормальними підгрупами з < math> G </math>.

Ряд підгруп — скінченна послідовність підгруп  G_0, G_1, ..., G_n називається рядом підгруп, якщо  G_i \leq G_{i +1} , для всіх  i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G . Такий ряд записують у вигляді

 1 = G_0 \leq G_1 \leq \dots \leq G_n = G

або у вигляді

 G = G_n \geq G_ {n-1} \geq \dots \geq G_0 = 1

Регулярна p-група — скінченна p-група, для будь-якої пари елементів  x і  y якої знайдеться елемент  u коммутанта підгрупи, породженої цими елементами, такий, що  (xy)^p = x^py^pu^p .

С[ред.ред. код]

Надрозв'язна група — група, що має нормальний ряд підгруп з циклічними'факторами.

Скінченна p-групаp-група скінченного порядку  p ^ n .

Скінченно задана група (або скінченно певна група) — група, що має скінченну кількість породжуючихі задається за допомогою скінченної кількості співвідношень.

Скінченнопороджена абелева група — абелева група, що має скінченну систему утворюють .

Скінченнопородженої група - група, що має кінцевою системою породжуючих .

Підгрупа Силова p -підгрупа в  G , що має порядок  p^n, де  |G|=p^ns , НОД  (p, s) = 1 .

Співвідношення — тотожність, якій задовольняють породжуючі групи (при завданні групи утворюють і співвідношеннями).

Скінченна група - група зі скінченним числом елементів.

Стабілізатор елемента p множини M, на якій діє група G - підгрупа St_G(p) \subset G , всі елементи якої залишають p на місці:  g \cdot p = p .

Субнормальний ряд підгрупряд підгруп, в якому підгрупа  G_{i} нормальна у підгрупі  G_{i +1} , для всіх членів ряду.

Ф[ред.ред. код]

Факторгрупою групиG по нормальній підгрупі H є множина класів суміжності підгрупи H з множенням, визначеним наступним чином:

 (aH) * (bH) = (ab) H.

Фактори субнормального ряду - фактор-групи  G_ {i +1} / G_ {i} у визначеннісубнормального ряду підгруп.

Х[ред.ред. код]

Характеристична підгрупа — підгрупа, інваріантна щодо всіх автоморфізмів групи.

Підгрупа Халловея — підгрупа, порядок якої взаємно простий з її індексом у всій групі.

Ц[ред.ред. код]

Центр групи G, зазвичай позначається Z(G), визначається як

Z(G) = \{ g \in G |gh =hg \ \forall h \in G \},

інакше кажучи, це максимальна підгрупа елементів, комутуючих з кожним елементом G.

Централізатор елемента — максимальна підгрупа, кожен елемент якої комутує з цим елементом.

Центральний ряд підгрупнормальний ряд підгруп, в якому  G_{i +1} / G_{i} \subseteq Z (G / G_{i}) , для всіх членів ряду.

Циклічна група — група, що складається з породжуючого елемента і всіх його цілих степенів. Скінченна у разі, якщо порядок породжуючого елемента скінченний.

Е[ред.ред. код]

Експонента  \exp (G) скінченної групи  G — числова характеристика групи, рівна найменшому спільному кратному порядків всіх елементів групи  G .

Я[ред.ред. код]

Ядро гомоморфізму — прообраз нейтрального елемента при гомоморфізмі. Ядро завжди є нормальною підгрупою, більше того, будь-яка нормальна підгрупа є ядром ​​деякого гомоморфізму.

Литература[ред.ред. код]