Слід матриці

Слід матриці — операція, що відображає простір квадратних матриць у поле, над яким визначена матриця (див. функціонал).

Слід матриці — це сума усіх її діагональних елементів, тобто якщо $\ a_{ij}$ елементи матриці $\ A$, її слід дорівнює:

$\mathop{\rm tr} \;A= \mathop{\rm Sp} \;A =\sum_i a_{i i}.$

В математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду: $\mathop{\rm tr} \;A$ (трейс, від англ. Trace — слід), і $\mathop{\rm Sp} \;A$ (шпур, від нім. Spur — слід).

Властивості

• Лінійність

$\mathop{\rm tr} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \; \mathop{\rm tr} \;A + \beta \; \mathop{\rm tr} \;B$

• Циклічність

$\mathop{\rm tr} \;(A B) = \mathop{\rm tr} \; (B A)$,

$\mathop{\rm tr} \;(A B C) = \mathop{\rm tr} \;(B C A) = \mathop{\rm tr} \;(C A B)$

$\mathop{\rm tr} \;A=\mathop{\rm tr} \;A^{T}$,

де T означає операцію транспонування.

• Слід подібних матриць однаковий

$\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(AP P^{-1}) = \operatorname{tr}(A)$

• Якщо $A\otimes B$ добуток Кронекера матриць A та B, то

$\mathop{\rm tr} \;A\otimes B =(\mathop{\rm tr} \;A) (\mathop{\rm tr} \;B)$

• Слід матриці дорівнює сумі її власних значень.

• $f( \rm tr A) = \mathop{\rm tr} \; (f(A)).$

Див. також

• Теорія матриць
• Визначник матриці
• Ранг матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.