Солітон

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік темного солітону

Соліто́н — структурно стійка усамітнена (відокремлена) хвиля, що розповсюджується в нелінійному середовищі.

Солітони поводяться подібно до частинок (тому їх можна називати частинкоподібними хвилями): при взаємодії один з одним або з деякими іншими збудженнями вони не руйнуються, а рухаються, зберігаючи свою структуру незмінною. Солітони описуються нелінійними диференціальними рівняннями в частинних похідних (для неперевних середовищ) або системами нелінійних звичайних диференціальних рівнянь (для дискретних середовищ).

Історія відкриття[ред.ред. код]

Історія вивчення солітона почалася в серпні 1834 року, на березі каналу Юніон поблизу Едінбурга. Джон Скотт Расселл спостерігав на поверхні води явище, яке називав «усамітненою (відокремленою) хвилею», — англ. solitary wave[1][2][3].

Вперше слово «солітон» вжили для опису нелінійних хвиль, що взаємодіють як частинки[4]. Солітон трохи не став «солітроном», але йому пощастило — в ті часи існувала фірма з аналогічною назвою, і однією літерою довелося поступитися[5].

Формальне визначення[ред.ред. код]

Найбільш загальноприйнятим вважають визначення, наведене Дразіним та Джонсоном в їхній книжці [6] Згідно з цим визначенням солітоном називають хвильове збудження в нелінійному середовищі, яке задовольняє наступним трьом вимогам:

  • воно розповсюджується з постійною швидкістю, не змінюючи при цьому своєї форми;
  • воно локалізоване у просторі;
  • воно не змінюється після зіткнення з іншим таким же збудженням (окрім можливого зсуву фаз).

У реальних фізичних системах часто використовують слабше визначення, у якому однієї або кількох перелічених умов або не дотримуються взагалі, або дотримуються в межах певного наближення.

Солітони в різних фізичних системах[ред.ред. код]

Солітони експериментально спостерігаються в низці фізичних систем:

  • На поверхнях рідин солітони утворюються у вигляді локалізованих горбів, що розповсюджуються на далекі відстані. Це перші солітони, виявлені в природі. Іноді солітонами вважають гігантські хвилі, що утворюються на поверхні океанів після землетрусів та вивержень вулканів — цунамі.
  • Іонозвукові та магнітозвукові солітони в плазмі.
  • Гравітаційні солітони в шаруватій рідині.
  • Солітони у вигляді коротких світлових імпульсів в активному середовищі лазера.
  • Солітони можуть утворюватися в довгих контактах Джозефсона або в масивах точкових контактів Джозефсона. Вони мають фізичний зміст кванту магнітного потоку і називаються джозефсонівськими вихорами або флуксонами. Солітони в джозефсонівських контактах описуються рівнянням синус-Гордона.
  • У магнетиках можуть утворюватися солітони різного типу, зокрема доменні стінки мають властивості солітонів.
  • В оптичних хвилеводах, в яких присутня нелінійна залежність показника заломлення від електичного поля (завдяки так званому ефекту Керра) утворюються оптичні солітони.
  • У бозе-ейнштейнівських конденсатах холодних атомних газів спостерігалися солітони, що мають фізичний зміст рухливих областей підвищеної густини атомів.
  • Існує ще багато систем, в яких можуть існувати солітони, або збудження, близькі до них за своїми властивостями. Імовірно, прикладом солітона є Гігантський гексагон на Сатурні.
  • У певному наближенні можна розглядати як солітони нервові імпульси.

Математичні основи теорії солітонів[ред.ред. код]

Існує декілька математичних моделей, для яких солітони є точним розв'язком: рівняння Кортевега-де Вріза, нелінійне рівняння Шредінгера, рівняння синус-Гордона, рівняння Кадомцева-Петвіашвілі, ізотропне рівняння Ландау-Ліфшиця, ланцюжок Тоди. Основним математичним методом, який дозволяє явно побудувати солітонні розв'язки, є метод оберненої задачі розсіювання. Існують також інші методи: метод Хіроти, перетворення Беклунда та ін.

Рівняння Кортевега—де Фріза[ред.ред. код]

Однією з найпростіших і найвідоміших моделей, що припускають існування солітонів у розв'язку, є рівняння Кортевега—де Фріза:


u_t + u u_x + \beta u_{xxx} = 0.

Одним з можливих рішень цього рівняння є усамітнена хвиля, названа солітоном:


u \left( x,t \right) = A \cosh^{-2} \left( \frac{x - A t/3}{L} \right),


L = \sqrt{12 \beta / A},

де A — амплітуда солітону, L — ефективна ширина його основи. Такий солітон рухається зі швидкістю D = \frac{A}{3}.

1965 року Забуський і Краскал виявили, що цей розв'язок являє собою усамітнену хвилю, та має властивість, яка не була відома раніше, а саме: вона «пружно» взаємодіє з іншою такою хвилею[4]. Вони назвали такі хвилі солітонами.

Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються вужчими і рухаються швидше, і взаємодія двох окремих солітонів подібна до зіткнення частинок. Солітон-1 з більшою енергією наздоганяє повільніший солітон-2, але не переганяє його — між ними відбувається складна нелінійна взаємодія, в результаті якої швидший солітон-1 «передає» свою енергію повільнішому солітону-2. Відтак солітон-2 починає рухатися швидше, а солітон-1 уповільнюється до початкової швидкості солітона-2. Хвилі-солітони таким чином відтворюють картину взаємодії двох частинок чи куль, одна з яких наздоганяє повільнішу і пружно передає їй свою енергію під час зіткнення.

Кубічне нелінійне рівняння Шредінгера[ред.ред. код]

Для нелінійного рівняння Шредінгера:


i u_t + u_{xx} + \nu \vert u \vert^2 u = 0

при значенні параметра \nu > 0 допустимі відокремлені хвилі у вигляді:


u \left( x,t \right) =  \left( \sqrt{\frac{2 \alpha}{\nu} } \right) \cosh^{-2} \left( \sqrt{\alpha}(x - Ut) \right) e^{i(rx-st)},

де r,s,\alpha,U — деякі постійні.

Класифікація солітонів[ред.ред. код]

Перші три з вищенаведених рівнянь (Кортевега-де Вріза, синус-Гордона та нелінійне рівняння Шредінгера) є найвідомішими рівняннями теорії солітонів. Розв'язки цих рівнянь утворюють три основних типи солітонів:

  • Солітони Кортевега-де Вріза (акустичні солітони).
  • Солітони огинаючої.
  • Топологічні солітони (кінки та антикінки).

Виноски[ред.ред. код]

  1. J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
  2. J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311—390, Plates XLVII-LVII).
  3. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — С. 12.
  4. а б N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240-243.
  5. Филиппов А.Т. Многоликий солитон. 2-е изд, перераб. и доп. (выпуск 48 серии "Библиотечка квант"). — М., Наука, 1990. — 288 с. ISBN 5-02-014405-3
  6. P. G. Drazin and R. S. Johnson (1989). Solitons: an introduction (англійська). Cambridge: Cambridge University Press. .

Посилання[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
  • Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны. — М.: Мир, 1983. — 408 с.
  • Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
  • Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
  • Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
  • Лонгрен К., Скотт Э. Солитоны в действии. — М.: Мир, 1981. — 312 с.
  • Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. — 328 с.
  • Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. — М.: Физматлит, 2007. — 560 с.
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
  • Филиппов А. Т. Многоликий солитон // Библиотечка "Квант". — Изд. 2, перераб. и доп. — М.: Наука, 1990. — 288 с.