Союзна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сою́зною (приє́днаною) до матриці A, називається матриця створена з алгебраїчних доповнень для відповідних елементів первинної матриці, і транспонована по тому.

{A}^{*}= \begin{pmatrix} 
{A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{j1} \\
{A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{j2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{A}_{1i} & {A}_{2i} & \cdots & {A}_{ji} \\
\end{pmatrix}

де A_{ij} — алгебраїчне доповнення елемента a_{ij} даної матриці A.

Позначення[ред.ред. код]

Союзну матрицю до матриці A позначають: \tilde{A}, \tilde{A}^{T}, A^{*}

Приклад[ред.ред. код]

Нехай 3\times 3 матриця


\mathbf{A}
= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}.

Її союзна матриця має вигляд:


A^{*} = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
6 & -12 & 6 \\
-3 & 6 & -3
\end{pmatrix}

Властивості[ред.ред. код]

  • A\, A^{*} = A^{*}\, A = \det(A)\, I
    Як наслідок A^{-1} = \frac {1} {\det(A)} \, A^{*} \,.
  • I^{*} = I\,
  • (AB)^{*} = B^{*}\,A^{*}\,
для всіх n×n матриць A і B.
  • (A^T)^{*} =(A^{*})^T\,.
  • \det\big(A^{*}\big) = \det(A)^{n-1}\,.
 A^{*} = q(A) = -(p_1 I + p_2 A + p_3 A^2 + \cdots + p_{n} A^{n-1}) ,
де  p_j — коефіцієнти p(t),
 p(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576. 
  • Назієв Е.Х. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посібник / Е.Х. Назієв, В.М. Владіміров, О.А. Миронець.- К.: Либідь, 1997.–152с. ISBN 5-325-00272-4.
  • Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Дмитрий Письменный.– 5-е изд.– М.: Айрис-пресс, 2007.–608 с.: ил. –(Высшее образование). ISBN 978-5-8112-2374-9