Спектральна теорема

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Спектральна теорема — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, певні результати для лінійних операторів що до їх діагоналізації.

В загальному випадку, спектральна теорема про комутативні C*-алгебри.

Нормальні оператори в Гільбертових просторах[ред.ред. код]

Спектральна теорема застосовується до нормальних операторів в Гільбертових просторах.

Вона дає канонічну декомпозицію по власних підпросторах векторного простору в якому вона діє.

Якщо лінійний оператор \ A діє в векторному просторі \ V, тоді позначимо через:

 V_\lambda = \{ \, v \in V: \; A v = \lambda v \, \}власний підпростір, що відповідає власному значенню \ \lambda
\ P_\lambdaортогональний проектор на \ V_\lambda.

Тоді:

  •  V = V_{\lambda_1}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_k} — простір представляється як пряма сума власних підпросторів \ V_\lambda (тобто, власні підпростори є ортогональними).
  • A =\lambda_1 P_{\lambda_1} + \ldots + \lambda_m P_{\lambda_m} — лінійний оператор виражається через лінійну комбінацію ортогональних проекторів.

Для простору нескінченної розмірності

A =\int_{\sigma} \lambda P(d\lambda)

де σ — спектр A, а Pідемпотентний оператор.

Спектральна теорема є частковим випадком декомпозиції Шура та частковим випадком SVD.

Джерела[ред.ред. код]