Спектральна теорема

Спектральна теорема — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, певні результати для лінійних операторів що до їх діагоналізації.

В загальному випадку, спектральна теорема про комутативні C*-алгебри.

Нормальні оператори в Гільбертових просторах

Спектральна теорема застосовується до нормальних операторів в Гільбертових просторах.

Вона дає канонічну декомпозицію по власних підпросторах векторного простору в якому вона діє.

Якщо лінійний оператор $\ A$ діє в векторному просторі $\ V,$ тоді позначимо через:

$V_\lambda = \{ \, v \in V: \; A v = \lambda v \, \}$ — власний підпростір, що відповідає власному значенню $\ \lambda$

$\ P_\lambda$ — ортогональний проектор на $\ V_\lambda.$

Тоді:

• $V = V_{\lambda_1}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_k}$ — простір представляється як пряма сума власних підпросторів $\ V_\lambda$ (тобто, власні підпростори є ортогональними).
• $A =\lambda_1 P_{\lambda_1} + \ldots + \lambda_m P_{\lambda_m}$ — лінійний оператор виражається через лінійну комбінацію ортогональних проекторів.

Для простору нескінченної розмірності

$A =\int_{\sigma} \lambda P(d\lambda)$

де σ — спектр A, а P — ідемпотентний оператор.

Спектральна теорема є частковим випадком декомпозиції Шура та частковим випадком SVD.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576. 
• Гельфанд И.М. (1971). Лекции по линейной алгебре (вид. четверте). Москва: Наука. с. 271. ISBN 5791300158.