Список моментів інерції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нижче приведено список формул, за якими розраховуються моменти інерції різних тіл. Розмірність масових моментів інерції — маса×довжина2. Це обертовий аналог маси тіл. Ці моменти інерції не слід плутати із моментами інерції плоских перерізів, які використовуються при розрахунку згинів і деформацій.


Нижченаведені моменти інерції допускають лише сталу густину тіл обертання, а вісь обертання проведена через центр мас, якщо не зазначено інше

Опис Фігура Момент(и) інерції Коментар
Точкова маса m на відстані r від осі обертання.  I = m r^2 Точка не має моменту інерції відносно осі, що проходить крізь неї. Наведений вираз отримано з теореми Штейнера.
Дві точкові маси, M і m, із зведеною масою  \mu на віддалі, x одна від одної.  I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2
Стержень довжиною L і масою m
(Вісь обертання проходить через один із кінців стержня)
Moment of inertia rod end.png I_{\mathrm{end}} = \frac{m L^2}{3} \,\!  [1] В цьому виразі припускається що стержень нескінченно тонкий (однак твердий). Це також є частковим випадком тонкої прямокутної площини з осями обертання на краю площини з h = L і w = 0.
Стержень довжиною L і масою m Moment of inertia rod center.png I_{\mathrm{center}} = \frac{m L^2}{12} \,\!  [1] В цьому виразі припускається що стержень нескінченно тонкий (однак твердий). Це також є частковим випадком тонкої прямокутної площини з осями обертання що проходять через центр площини, w = L і h = 0.
Тонке кільце радіусу r маси m Moment of inertia hoop.svg I_z = m r^2\!
I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!
Це частковий випадок тору для якого b=0. (див. нижче), а також тонкостінного циліндру без основ, з r1=r2 і h=0.
Тонкий суцільний диск, радіусу r і маси m Moment of inertia disc.svg I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!
I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!
Це частковий випадок суцільного циліндру,з h=0.
Тонка циліндрична оболонка з без основ, радіусу r маси m Moment of inertia thin cylinder.png I = m r^2 \,\!  [1] Цей вираз підрозуміває що товщина оболонки нескінченно мала. Це частковий випадок тонкостінної циліндричної труби для r1=r2.

Також, точкова маса (m) на кінці стержня довжиною r має саме такий момент інерції а значення r називають радіусом інерції .

Суцільний циліндр радіусу r, висоти h і маси m Moment of inertia solid cylinder.svg I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!  [1]
I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)
Це частковий випадок тонкостінної циліндричної труби з r1=0. (Зауваження: осі X-Y повинні помінятися місцями для стандартної правої трійки базисних векторів)
Тонкостінна циліндрична труба з без основ з внутрішнім радіусом r1, зовнішнім радіусом r2, довжиною h і масою m Moment of inertia thick cylinder h.png I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)  [1][2]
I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]
або ж вводячи нормовану товщину tn = t/r і припускаючи r = r2,
then I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}{t_n}^2\right)
З густиною ρ і такою ж геометрією I_z = \frac{1}{2} \pi\rho h\left({r_2}^4 - {r_1}^4\right) I_x = I_y = \frac{1}{12} \pi\rho h\left(3({r_2}^4 - {r_1}^4)+h^2({r_2}^2 - {r_1}^2)\right)
Сфера (пустотіла) радіуса r і маси m Moment of inertia hollow sphere.svg I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!  [1] Пустотіла сфера може розглянута такою, що зроблена з двох наборів нескінченно-тонких, круглих обручів, в яких радіус змінюється від 0 до r (або одного набору, в якого радіус змінюється з -r до r).
Куля (суцільна) радіусу r і маси m Moment of inertia solid sphere.svg I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!  [1] Сфера може розгялядатись як така, що зроблена з двох наборів нескінченно-тонких твердих дисків в яких радіус змінюється від 0 до r (або одного набору в якого радіус змінюється від -r до r).

Також, може розглядатись як зроблена з нескінченно тонких, пустотілих сфер, де радіус змінюється від 0 до r.

Прямокутний Конус радіусу r висоти height h і маси m. Moment of inertia cone.svg I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!  [3]
I_x = I_y = \frac{3}{5}m\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!  [3]
Трубчатий тор радіусу а, з радіусом перерізу b і маси m. Torus cycles.png About a diameter: \frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m  [4]

Навколо вертикальної осі: \left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m  [4]

Еліпсоїд (суцільний) з напівосями a, b, і c з віссю обераттня a і масою m Ellipsoid 321.png I_a = \frac{m (b^2+c^2)}{5}\,\!
Тонка прямокутна площина висоти h і ширини w і маси m
(Вісь обертання на краю площини)
Recplaneoff.svg I_e = \frac {m h^2}{3}+\frac {m w^2}{12}\,\!
Тонка прямокутна площина висоти h і ширини w і маси m Recplane.svg I_c = \frac {m(h^2 + w^2)}{12}\,\!  [1]
Суцільний кубоїд висоти h, ширини w, і глибини depth d, маси m Moment of inertia solid rectangular prism.png I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)
I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right)
I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right)
Для схоже орієнтованого куба з ребрами s, I_{CM} = \frac{m s^2}{6}\,\!.
Суцільний кубоїд висоти D, ширини W, довжини L, і маси m з найдовшою діагоналлю в ролі осі обертання. Moment of Inertia Cuboid.jpg I =  \frac{m\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)} Для куба з ребрами s, I = \frac{m s^2}{6}\,\!.
Плоский многокутник з вершинами \vec{P}_{1}, \vec{P}_{2}, \vec{P}_{3}, ..., \vec{P}_{N} і

масою m однорідно розподіленою на його поверхності, що обертається навколо осі перпендикулярній до площини і проходящій через початок координати.

Polygon Moment of Inertia.svg I=\frac{m}{6}\frac{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|((\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n+1})+(\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n})+(\vec{P}_{n}\cdot\vec{P}_{n}))}{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|} Цей вираз передбачає, що многокутник є опуклим. Вектори \vec{P}_{1}, \vec{P}_{2}, \vec{P}_{3}, ..., \vec{P}_{N} є радіус-векторами вершин.
Нескінченний круг з масою, що нормально розподілена на двох осях навколо обертання

(тобто  \rho(x,y) = \tfrac{m}{2\pi ab}\, e^{-((x/a)^2+(y/b)^2)/2} де :  \rho(x,y) — масова густина як функція x і y).

Gaussian 2d.png I = m (a^2+b^2) \,\!

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. а б в г д е ж и Raymond A. Serway (1986). Physics for Scientists and Engineers, second ed. Saunders College Publishing. с. 202. ISBN 0-03-004534-7. 
  2. Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com. Retrieved on 2008-01-31.
  3. а б Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr (1984). Vector Mechanics for Engineers, fourth ed. McGraw-Hill. с. 911. ISBN 0-07-004389-2. 
  4. а б Eric W. Weisstein. «Moment of Inertia — Ring». Wolfram Research. Архів оригіналу за 2013-07-13. Процитовано 2010-03-25.