Спліт-кватерніони

Спліт-кватерніо́ни  — гіперкомплексні числа виду $\ a + bi + cj + dk$ (вперше описані Джеймсом Коклі у 1849 році), де

$\ a, b, c, d$ — дійсні числа,

$\ i, j, k$ — уявні одиниці, що задовольняють співвідношенням:

$\ i^2 = -1, \quad j^2 = k^2 = ijk = 1,$, з яких випливають ще й такі співвідношення: $\begin{matrix} ij & = & -ji & = & k, \\ jk & = & -kj & = & -i, \\ ki & = & -ik & = & j. \end{matrix}$

Дещо в іншій формі (з заміною k на -k) вони зустрічаються під назвою пара-кватерніони.

• Спліт-кватерніон можна записати у вигляді $\ (a + bi) + (c + di)j = A + Bj,$ де

$\ A, B$ будуть комплексними числами.

• Спліт-кватерніони, на відміну від кватерніонів, містять дільники нуля, нільпотентні елементи і нетривіальні ідемпотентні елементи.

Пов'язані означення

Для спліт-кватерніона $\,q=a+bi+cj+dk$,

• спліт-кватерніон $\bar{q}=a-bi-cj-dk$ називається спряженим до $\,q$.

• Як і для комплексних чисел, модуль спліт-кватерніона визначається як: $|q|=\sqrt{q\bar{q}}=\sqrt{a^2+b^2-c^2-d^2}.$

Матричне представлення

Спліт-кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2×2 із комплексних чисел:

$\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ c-di & a-bi \end{pmatrix}$

Джерела

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.