Спряжена норма

Концепція спря́женої норми (англ. dual norm) з'являється у функціональному аналізі, галузі математики.

Нехай $X$ це нормований простір над числовим полем ${\mathbb {F} }$ з нормою $\|\cdot \|$. Тоді спряжений нормований простір $X'$ (інший запис $X^{*}$) визначають як множину всіх неперервних лінійних форм з $X$ в базове поле ${\mathbb {F} }.$ Якщо $f:X\to {\mathbb {F} }$ є такою лінійною формою, тоді спряжену норму $\|\cdot \|'$ для $f$ визначають як

$\|f\|'=\sup\{|f(x)|:x\in X,\|x\|\leq 1\}=\sup \left\{{\frac {|f(x)|}{\|x\|}}:x\in X,x\neq 0\right\}.$

З цією нормою, спряжений простір $X'$ також є нормованим простором, і більше банаховим простором, оскільки $X'$ завжди повний.

Приклади

Спряжена норма векторів

Якщо $p,q\in [1,\infty ]$ задовольняють $1/p+1/q=1$, тоді ℓ^p і ℓ^q є взаємоспряженими нормами. Це випливає з нерівності Гельдера.

Зокрема, евклідова норма є самоспряженою $(p=q=2).$

Спряжена норма матриць

Норма Фробеніуса:

$\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} (A^{{}^{*}}A)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,\,n\}}\sigma _{i}^{2}}}$

Спряженою їй є $\|B\|_{F}$