Спряжені числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Геометричне представлення z та його спряженого \bar{z} на комплексній площині

Спряженими числами (також комплексно-спряженими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини[1]. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа z\! позначається \overline{z}. У загальному випадку, спряженим до числа z

 z=a+ib,\,

де a та bдійсні числа, є

\overline{z} = a - ib.\,

Наприклад,

\overline{(3-2i)} = 3 + 2i
\overline{7}=7
\overline{i} = -i.

На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд r e^{i \phi} та r e^{-i \phi}, що безпосередньо випливає з формули Ейлера.

Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.

Властивості[ред.ред. код]

Для довільних комплексних чисел z та w:

  • \overline{(z \plusmn w)} = \overline{z} \plusmn \overline{w} \!\
  • \overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!\
  • \overline{z} = z \Leftrightarrow z є дійсним числом
  • \overline{z^n} = \overline{z}^n для всіх цілих n
  • \left| \overline{z} \right| = \left| z \right|
  • {\left| z \right|}^2 = z\overline{z} = \overline{z}z
  • z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2}, якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.
\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}.\,\!
Зокрема:
  • \exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}\,\!
  • \log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}\,\!, якщо z не дорівнює нулю.
  • Якщо pполіном з дійсними коефіцієнтами і p(z) = 0\!\,, то також p(\overline{z}) = 0. Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.

Визначення координат числа та спряження[ред.ред. код]

Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:

  • x = \operatorname{Re}\,(z) = (z + \overline{z})/2
  • y = \operatorname{Im}\,(z) = (z - \overline{z})/2i
  • \rho = \left| z \right| = \sqrt {z \cdot \overline{z}}
  • e^{i\theta} = z/\left| z \right| = e^{i\arg z} = \sqrt {z/\overline{z}} (якщо z не дорівнює нулю).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Weisstein, Eric W. Complex Conjugates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.