Спряжені числа

Геометричне представлення $z$ та його спряженого $\bar{z}$ на комплексній площині

Спряженими числами (також комплексно-спряженими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа $z\!$ позначається $\overline{z}$. У загальному випадку, спряженим до числа $z$

$z=a+ib,\,$

де $a$ та $b$ — дійсні числа, є

$\overline{z} = a - ib.\,$

Наприклад,

$\overline{(3-2i)} = 3 + 2i$

$\overline{7}=7$

$\overline{i} = -i.$

На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд $r e^{i \phi}$ та $r e^{-i \phi}$, що безпосередньо випливає з формули Ейлера.

Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.

Властивості

Для довільних комплексних чисел $z$ та $w$:

• $\overline{(z \plusmn w)} = \overline{z} \plusmn \overline{w} \!\$

• $\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!\$

• $\overline{z} = z \Leftrightarrow z$ є дійсним числом

• $\overline{z^n} = \overline{z}^n$ для всіх цілих $n$

• $\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|$

• ${\left| z \right|}^2 = z\overline{z} = \overline{z}z$

• $\overline{\overline{z}} = z \!\$, (тобто, спряження є інволюцією)

• $z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2}$, якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.

• Якщо $\phi\,$ є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено $\phi(z)\,$, то

$\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}.\,\!$

Зокрема:

• $\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}\,\!$
• $\log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}\,\!$, якщо z не дорівнює нулю.
• Якщо $p$ — поліном з дійсними коефіцієнтами і $p(z) = 0\!\,$, то також $p(\overline{z}) = 0$. Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.

Визначення координат числа та спряження

Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:

• $x = \operatorname{Re}\,(z) = (z + \overline{z})/2$
• $y = \operatorname{Im}\,(z) = (z - \overline{z})/2i$
• $\rho = \left| z \right| = \sqrt {z \cdot \overline{z}}$
• $e^{i\theta} = z/\left| z \right| = e^{i\arg z} = \sqrt {z/\overline{z}}$ (якщо z не дорівнює нулю).