Спінор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Спінор - двокомпонентна математична конструкція, за допомогою якої описуються частинки з напівцілим спіном.

На відміну від скаляра, спінор має дві компоненти, одна з яких відповідає спіну 1/2, а інша спіну -1/2. Вони позначаються  \psi^1 \, та  \psi^2 \, і записуються в стовпчик

 \psi = \left( \begin{matrix}\psi^1  \\ \psi^2 \end{matrix} \right)

Конструкція  \psi \, називається спінором.

При повороті системи координат компоненти спінора зв'язані лінійним співвідношенням

 \psi^{1\prime} = a \psi^1 + b \psi^2, \qquad \psi^{2\prime} = c \psi^1 + d \psi^2 \qquad

або

 \psi = \hat{U}\psi,  \qquad \hat{U} = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) .

 \hat{U} - матриця перетворення, а її елементи a, b, c, d - комплесні числа.

Білінійна форма  \psi^1 \varphi^2 - \psi^2 \varphi^1 , де  \psi \, та  \varphi - два спінори, перетворються при повороті системи координат як:

 \psi^{1\prime} \varphi^{2\prime} - \psi^{2\prime} \varphi^{1\prime}  = (ad - bc)(\psi^1 \varphi^2 - \psi^2 \varphi^1) ,

тобто ця форма перетворюється сама в себе. Отже детермінант матриці перетворення повинен дорівнювати одиниці

 \det \hat{U} = ad-bc = 1 .

Додаткові умови на елементи матриці перетворення є наслідком того, що вираз

 \psi^{1*} \psi^1 + \psi^{2*} \psi^2 \,

задає ймовірність перебування частинки в точці простору, тож повинна бути скаляром. Отже, перетворення  \hat{U} повинно бути унітарним. Тоді

 a = d^*, \qquad b = - c^* .

Враховуючи всі ці співвідношення, серед чотирьох комплексних чисел a, b, c, d всього три незалежні дійсні змінні, якраз стільки, щоб ними можна було описати поворот в тривимірному просторі.

В релятивістській квантовій механіці, де окрім просторових поворотів враховуються також перетворення Лоренца використовуються складніші чотирикомпонентні конструкції - біспінори.

Поворот навколо осі z[ред.ред. код]

При повороті навколо осі z на кут  \phi матриця перетворення задається формулою

 \hat{U} = e^{iS_z \phi/ \hbar } ,

де  S_z = \frac{1}{2}\hbar \sigma_z - z-ва складова оператора спіну,  \sigma_z - матриця Паулі,  \hbar - зведена стала Планка,  \phi \, - кут повороту.

При дії цієї матриці на стан із спіном +1/2

 \hat{U} \left( \begin{matrix}1  \\ 0 \end{matrix} \right) = e^{i\phi/2} \left( \begin{matrix}1  \\ 0 \end{matrix} \right)

Таким чином при повороті на кут  2 \pi спінор міняє свій знак.

Джерела[ред.ред. код]

  • Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь. 
  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІІ. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Москва: Наука.