Стандартне відображення

Стандартне відображення (англ. Standard map), відоме також як стандартне відображення Чирікова (англ. Chirikov standard map) та відображення Чирікова — Тейлора (англ. Chirikov-Taylor map) — нелінійне відображення (що зберігає об'єм) для двох канонічних змінних, $(p,x)$ (імпульсу та координати). Відображення відоме своїми хаотичними властивостями, які вперше були досліджені Борисом Чиріковим в 1969 році.

Відображення задається такими ітераційними рівняннями:

${\begin{array}{lcr}{p}_{n+1}=p_{n}+K\sin x_{n}\\{x}_{n+1}=x_{n}+{p}_{n+1}\end{array}}$

де параметр K контролює хаотичність системи.

Модель ротатора

Стандартне відображення описує рух класичного ротатора — фіксованого стрижня, на який не діє сила тяжіння і який обертається без тертя в площині навколо осі, що проходить через один з його кінців. Ротатор також зазнає спричинених зовнішньою силою періодичних в часі (з періодом одиниця) ударів нескінченно короткої тривалості. Змінні $x_{n}$ та $p_{n}$ відповідають куту повороту ротатора та його кутовому моменту після n-ого удару. Стала K описує силу удару. Функція Гамільтона ротатора може бути записана так:

$H={\frac {p^{2}}{2}}+K\cos x~~\delta _{Per}(t),$

де функція $\delta _{Per}(t)$ періодична з періодом 1 функція, що на одному періоді збігається з $\delta$-функцією Дірака. З вищенаведеної функції Гамільтона елементарно одержується стандартне відображення.

Властивості

Рис.1. K=0.5

Рис.2. K=0.971635

Рис. 3. K=1.5

Для випадку K=0 відображення є лінійним, тому існують лише періодичні та квазіперіодичні тректорії. При $K\neq 0$ відображення стає нелінійним, згідно з теоремою КАМ, відбувається руйнування інваріантних торів та утворення стохастичних шарів, в яких динаміка є хаотичною. Зростання K призводить до збільшення областей хаосу на фазовій площині $(x,p)$. Завдяки періодичності функції $sin(x)$, динаміку системи можна розглядати на циліндрі [взявши $x~mod(2\pi )$] або на торі [взявши $(x,p)~mod(2\pi )$].

Стаціонарні точки відображення визначаються з умови
$(x_{n},p_{n})=(x_{n+1},p_{n+1})$. На інтервалі $x\in [0,2\pi [$, $p\in [0,2\pi [$ такими точками є $(0,0)$ та $(\pi ,0)$ (внаслідок симетрчності фазової площини системи $(x_{n},p_{n})$ при інверсії стосовно точки $(\pi ,\pi )$ стаціонарні точки $(0,\pi )$ та $(\pi ,\pi )$ можна не розглядати). Аналіз лінійної стійкості відображення зводиться до аналізу системи рівнянь

$\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\\delta p_{n+1}\end{array}}\right]={\hat {M}}\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n}\\\delta p_{n}\end{array}}\right]~,$
$~~~~{\hat {M}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1+K\cos x_{n}\\1&K\cos x_{n}\end{array}}\right].$
З умови $\det |{\hat {M}}-\lambda {\hat {I}}|=0$ можна визначити власні значення матриці ${\hat {M}}$ для обидвох стаціонарних точок [$(0,0)$ та $(\pi ,0)$]:
$\lambda _{\pm }^{(0,0)}={\frac {2+K{\pm }{\sqrt {K^{2}+4K}}}{2}}~,$ $\lambda _{\pm }^{(\pi ,0)}={\frac {2-K{\pm }{\sqrt {K^{2}-4K}}}{2}}~.$

Оскільки K>0, то звідси випливає нерівність $\lambda _{+}^{(0,0)}>1$. В той же час справедлива нерівність $\lambda _{-}^{(0,0)}<\lambda _{+}^{(0,0)}<1$ для довільних K>0. Таким чином стаціонарна точка $(0,0)$ є нестійкою гіперболічною точкою. Стаціонарна точка $(\pi ,0)$ є стійкою еліптичною точкою при $0\geq K<4$, оскільки тоді $\Re \left|\lambda _{\pm }^{(\pi ,0)}\right|=1$. Для $K\geq 4$ стаціонарна точка $(\pi ,0)$ втрачає стійкість і стає гіперболічною.

Нижче критичного значення параметру, $K<K_{c}$ (Рис. 1) інваріантні тори ділять фазовий простір системи так, що момент імпульсу p є обмеженим — іншими словами, дифузія p в стохастичному шарі не може виходити за границі, обмежені інваріантними торами. Золотий інваріантний тор руйнується коли число обертання досягає значення $r_{g}=({\sqrt {5}}-1)/2$, що відповідає критичному значенню параметра $K_{g}=0.971635...$ (фазовий простір системи для $K=0.971635$ зображено на Рис. 2). Зараз строго не доведено, що $K_{c}=K_{g}$, проте чисельні розрахунки свідчать, що це найімовірніше так. На сьогоні існує лише строге доведення того, що при $K>63/64=0.984375...$. При $K>K_{c}$ спостерігається режим глобального хаосу, коли стохастичне море з окремими острівцями стійкості покриває весь фазовий простір (див. рис. 3.). Інваріантних торів, що обмежують еволюцію в фазовому просторі, вже немає і можна говорити про дифузію траєкторії в хаотичному морі.

Ентропія Колмогорова-Синая стандартного відображення добре описується співвідношенням $h\approx \ln(K/2)$ для значень контрольного параметра $K>4$

Квантове стандартне відображення

Перехід до квантового стандартного відображення відбувається заміною динамічних змінних $(p,x)$ квантовомеханічними операторами $({\hat {p}},{\hat {x}})$, що задовільняють комутаційному співвідношенню $[{\hat {p}},{\hat {x}}]=-i\hbar$, де $\hbar$ — ефективна безрозмірна стала Планка.

Основною властивістю квантового відображення у порівнянні з класичним є т. зв. явище динамічної локалізації, що полягає в придушенні хаотичної дифузії за рахунок квантових ефектів.

Застосування

Багато фізичних систем та явищ зводяться до стандартного відображення. Це, зокрема

• Динамкіка частинок в прискорювачах;
• Динаміка комети в Сонячній системі;
• Мікрохвильова іонізація рідбергівських атомів та автоіонізація молекулярних рідбергівських станів;
• Електронний магнетотранспорт в резонансному тунельному діоді;
• Конфайнмент заряджених частинок в дзеркальних магнітних пастках;
  

Модель Френкеля — Конторової

Модель Френкеля — Конторової слід виділити окремо як першу модель, в якій рівняння стандартного відображення були записані аналітично. Ця модель використовується для опису динаміки дислокацій, моношарів на поверхнях кристалів, хвиль густини заряду, сухого тертя. Модель у стаціонарному випадку задає зв'язок між положеннями взаємодіючих частинок (наприклад атомів) в полі просторово-періодичного потенціалу. Функція Гамільтона одновимірного ланцюжка атомів, що взаємодіють з найближчими сусідами через параболічний потенціал взаємодії та знаходяться в полі косинусоїдального потенціалу, який описує кристалічну поверхню, має насутпний вигляд:
$H=\sum _{n}\left({P_{n}^{2} \over 2}+{(x_{n+1}-x_{n})^{2} \over 2}-K\cos x_{n}\right)~,~~~P_{n}={\dot {x}}_{n}~.$
Тут $x_{n}$ — відхилення атома від свого положення рівноваги. У стаціонарному випадку ($P_{n}\equiv 0$) це призводить до наступного рівняння

$x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1}=K\sin x_{n}~,$

яке заміною $p_{n+1}=x_{n+1}-x_{n}$ можна звести до звичайного запису стандартного відображення.

Див. також

• Відображення кола

Література

• Стандартне відображення Чирікова на www.scholarpedia.org (англійською).
• Standard map на MathWorld*(англійською).
• Lichtenberg, A.J. and Lieberman, M.A. (1992). Regular and Chaotic Dynamics. Springer, Berlin. ISBN 978-0-387-97745-4. Springer link
• Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5.
• Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9.
• B.V.Chirikov, «Time-dependent quantum systems» in «Chaos and quantum mechanics», Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp.443-545, Eds. M.-J.Giannoni, A.Voros, J.Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).