Статистика Петуніна

Статистика Петуніна (p-статистика) — міра близькості між вибірками, запропонована українським математиком Юрій Петуніним. Використовується для перевірки гіпотези про рівність функцій розподілу двох вибірок.

Розглянемо дві генеральні сукупності $G$ та $G'$ та відповідні функції розподілу $F_{G}$ та $F_{G'}$. Нехай $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {G}$ та $x=({x'}_{1},{x'}_{2},...,{x'}_{m})\in {G'}$, а ${x}_{(1)}\leq {x}_{(2)}\leq ...\leq {x}_{(n)}$ та ${x'}_{(1)}\leq {x'}_{(2)}\leq ...\leq {x'}_{(m)}$ — відповідні порядкові статистики. Припустимо, що $F_{G}(u)=F_{G'}(u)$, тоді

$p(A_{ij})=P({x'}_{k}\in (x_{(i)},x_{(j)}))=p_{ij}={\frac {j-i}{n+1}}$.

Якщо маємо вибірку ${x'}\in ({x'}_{(1)},{x'}_{(2)},...,{x'}_{(m)})$, можемо знайти частоту $h_{ij}$ випадкові події $A_{ij}$ та довірчі інтервали $({p}_{ij}^{(1)},{p}_{ij}^{(2)})$ для ймовірності $p_{ij}$ при заданому рівні значущості $\beta$, тобто $B=\{p_{ij}\in ({p}_{ij}^{(1)},{p}_{ij}^{(2)})\},p(B)=1-\beta$. Згідно з

$p_{ij}^{(1)}={\frac {h_{ij}m+{\frac {g^{2}}{2}}-{g}{\sqrt {h_{ij}(1-h_{ij})m+{\frac {g^{2}}{4}}}}}{m+g^{2}}}$

$p_{ij}^{(2)}={\frac {h_{ij}m+{\frac {g^{2}}{2}}+{g}{\sqrt {h_{ij}(1-h_{ij})m+{\frac {g^{2}}{4}}}}}{m+g^{2}}}$

,

де $g$ задовольняє умову $\phi (g)=1-{\frac {\beta }{2}}$ ($\phi (g)$ — щільність нормального розподілу). Згідно з покладемо $g=3$.

Позначимо через $N$ всі довірчі інтервали $I_{ij}=(p_{ij}^{(1)},p_{ij}^{(2)})$ ($N={\frac {n(n-1)}{2}}$) та $L$ — число інтервалів $I_{ij}$, які містять ймовірність $p_{ij}$, тобто $p_{ij}\in {I_{ij}}$. Покладемо

$h=\rho (x,x')={\frac {L}{N}}$

Статистика $h$ називається p-статистикою (статистикою Петуніна), вона є мірою близькості $\rho (x,x')$ між вибірками $x$ та $x'$.

Джерела

• Клюшин Д. А., Петунин Ю. И. Непараметрический критерий эквивалентности генеральных совокупностей, основанный на мере близости между выборками // Український математичний журнал. — 2003. — т.55, № 2. — С.147-163. (рос.)