Статистичний критерій

Статистичний критерій — строге математичне правило, за яким приймається або відкидається та або інша статистична гіпотеза. Побудовою критерію є вибір відповідної функції від результатів спостережень (ряду емпірично набутих значень ознаки), яка служить для виявлення міри розбіжності між емпіричними значеннями і гіпотетичними.

Визначення

Нехай дано вибірку $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)$ з невідомо сумісного розподілу $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$, і сім'я статистичних гіпотез $H_0,H_1,\ldots$. Тоді статистичним критерієм називається функція, що встановлює відповідність між величинами, що спостерігаються, і можливими гіпотезами:

$f: \mathbb{R}^n \to \{H_0,H_1,\ldots\}$.

Таким чином кожній реалізації вибірки $\mathbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)$ статистичний критерій зіставляє найбільш підходящу з точки зору цього критерію гіпотезу про розподіл, що породив дану реалізацію.

Види критеріїв

Статистичні критерії підрозділяють на такі категорії:

• Критерій значущості. Перевірка за значущістю припускає перевірку гіпотези про числові значення відомого закону розподілу:

$H_0: \quad a=a_0$ — нульова гіпотеза.

$H_1: \quad a>a_0 \quad (a<a_0)$ або $a\neq a_0$ — альтернативна гіпотеза, що конкурує.

• Критерій узгодженості.Перевірка на узгодженість має на увазі, що випадкова величина, що досліджується,підкорюється закону, що розглядається. Критерій узгодженості можна також сприймати, як критерій значущості.
• Критерій однорідності.При перевірці на однорідність випадкові величини досліджуються на факт взаємної відповідності їх законів розподілу (чи підкорюються ці величини одному і тому ж закону). Використовуються у Факторному аналізі для визначення наявності залежностей.

Цей розділ умовний, і часто один і той же критерій може бути використаний в різних якостях.

Основні поняття

• Потужність критерію
• Рівень критерію

Простий приклад

Нехай дано незалежну вибірку $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)^{\top}$, де $X_i \sim \mathrm{N}(\mu,1),\quad i=1,\ldots,n$. Нехай маємо дві прості гіпотези:

$\begin{matrix} H_0: & \mu = 0, \\ H_1: & \mu = 1. \end{matrix}$

Тоді можна визначити наступний статистичний критерій:

$f(x_1,\ldots,x_n) = \left\{ \begin{matrix} H_0, & \bar{x} \le 0.5 \\ H_1, & \bar{x} > 0.5, \end{matrix} \right.$

де $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i$ - вибіркове середнє.

Непараметричні критерії

Група статистичних критеріїв, які не включають в розрахунок параметри ймовірнісного розподілу і засновані на оперуванні частотами або рангами:

• Q-критерій Розенбаума
• U-критерій Манна-Уітні
• критерій Колмогорова
• критерій Вілкоксона

Параметричні критерії

Група статистичний критеріїв, які включають в розранунок параметри ймовірнісного розподілу ознаки (середнього і дисперсії)

• t-критерій Стьюдента
• Критерій відношення правдоподібності
• Критерій Пірсона

Дивіться також

• Перевірка статистичних гіпотез
• Послідовний статистичний критерій