Стаціонарний стан дисипативної системи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Стаціона́рний стан дисипати́вної систе́ми — стан відкритої нелінійної дисипативної системи, при якому швидкості зміни всіх процесів дорівнюють нулю.

Стаціонарні стани можуть бути стійкими чи нестійкими, в залежності від поведінки системи при незначному відхиленні. Зміна кількості чи характеру стійкості стаціонарних точок в залежності від параметру називається біфуркацією.

Математичне формулювання[ред.ред. код]

Еволюція однорідної дисипативної системи задається в загальному випадку системою нелінійних диференціальних рівнянь

 \frac{dx_i}{dt} = f_i(x_1, x_2, \ldots, x_N) ,

де  x_i  — динамічні змінні.

В багатьох випадках функції f_i залежать від часу лише опосередковано, через динамічні змінні. Тоді система нелінійних рівнянь

 f_i(x_1, x_2, \ldots, x_N) = 0

визначає так звані стаціонарні точки, що описують стаціонарні стани дисипативної системи. Для стаціонарних точок

 \frac{dx_i}{dt} = 0 .

Дослідження на стійкість[ред.ред. код]

Характер еволюції системи при малому відхиленні змінних системи від стаціонарних станів можна дослідити, аналізуючи лінеаризовану систему диференційних рівнянь в околі стаціонарної точки

 \frac{\delta x_i}{dt} = \sum_j A_{ij} \delta x_j ,

де  \delta x_i  — мале відхилення динамічної змінної від її значення в стаціонарній точці, а  A_{ij} = 
\frac{\partial f_i}{\partial x_j} .

Шукаючи розв'язок даної лінійної системи диференціальних рівнянь у вигляді  \delta x_i = a_i e^{\lambda t} \,, визначається секулярне рівняння для параметру λ

 \text{det}\, |\lambda I - A | = 0 ,

де I — одинична матриця.

  • Якщо всі корені цього рівняння мають від'ємну дійсну частину, то стаціонарна точка називається стійкою.
    • Якщо при цьому всі корені рівняння дійсні, то стаціонарна точка називається стійким вузлом.
    • Якщо серед коренів секулярного рівняння існує хоча б одна пара комплексних, то стаціонарна точка називається стійким фокусом.
  • Якщо хоча б один корінь секулярного рівняння має додатну дійсну частину, то стаціонарна точка називається нестійкою.
    • Якщо при цьому всі корені дійсні, то стаціонарна точка називається нестійким вузлом.
    • Якщо серед коренів є комплексні, то стаціонарна точка називається нестійким фокусом.

Такий аналіз стаціонарної точки називається аналізом на стійкість у сенсі Ляпунова.

Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.