Стаціонарний стан дисипативної системи

Стаціона́рний стан дисипати́вної систе́ми — стан відкритої нелінійної дисипативної системи, при якому швидкості зміни всіх процесів дорівнюють нулю.

Стаціонарні стани можуть бути стійкими чи нестійкими, в залежності від поведінки системи при незначному відхиленні. Зміна кількості чи характеру стійкості стаціонарних точок в залежності від параметру називається біфуркацією.

Математичне формулювання

Еволюція однорідної дисипативної системи задається в загальному випадку системою нелінійних диференціальних рівнянь

$\frac{dx_i}{dt} = f_i(x_1, x_2, \ldots, x_N)$,

де $x_i$ — динамічні змінні.

В багатьох випадках функції $f_i$ залежать від часу лише опосередковано, через динамічні змінні. Тоді система нелінійних рівнянь

$f_i(x_1, x_2, \ldots, x_N) = 0$

визначає так звані стаціонарні точки, що описують стаціонарні стани дисипативної системи. Для стаціонарних точок

$\frac{dx_i}{dt} = 0$.

Дослідження на стійкість

Характер еволюції системи при малому відхиленні змінних системи від стаціонарних станів можна дослідити, аналізуючи лінеаризовану систему диференційних рівнянь в околі стаціонарної точки

$\frac{\delta x_i}{dt} = \sum_j A_{ij} \delta x_j$,

де $\delta x_i$ — мале відхилення динамічної змінної від її значення в стаціонарній точці, а $A_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}$.

Шукаючи розв'язок даної лінійної системи диференціальних рівнянь у вигляді $\delta x_i = a_i e^{\lambda t} \,$, визначається секулярне рівняння для параметру λ

$\text{det}\, |\lambda I - A | = 0$,

де I — одинична матриця.

• Якщо всі корені цього рівняння мають від'ємну дійсну частину, то стаціонарна точка називається стійкою.
  • Якщо при цьому всі корені рівняння дійсні, то стаціонарна точка називається стійким вузлом.
  • Якщо серед коренів секулярного рівняння існує хоча б одна пара комплексних, то стаціонарна точка називається стійким фокусом.
• Якщо хоча б один корінь секулярного рівняння має додатну дійсну частину, то стаціонарна точка називається нестійкою.
  • Якщо при цьому всі корені дійсні, то стаціонарна точка називається нестійким вузлом.
  • Якщо серед коренів є комплексні, то стаціонарна точка називається нестійким фокусом.

Такий аналіз стаціонарної точки називається аналізом на стійкість у сенсі Ляпунова.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.