Ступенева функція

Степенева функція

Степене́ва функція — функція вигляду $f(x)=x^{a} \!\$, де a — дійсне число.

Область визначення: $(0, \infty )$ при $a < 0$, $[0, \infty )$ при $a >0$.

При натуральних показниках степеня $a$ область визначення розширюєтья на всю числову вісь: $(-\infty, \infty )$.

Область значень: $(0, \infty )$ при $a < 0$, $[0, \infty )$ при $a >0$.

Монотонно спадає при $a < 0$, монотонно зростає при $a > 0$. При а > 0 функція має єдиний нуль в точці x= 0. Точок перегину не має.

При $a < 0$ має особливу точку при $x = 0$.

Похідна

$\left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}$

Невизначений інтеграл

$\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$

Аналітичне продовження

Степенева функція комплесного агрумента

$f(z) = z^a \,$

аналітична (голоморфна) всюди, окрім точки z = 0 при нецілих значеннях показника $a$.

При раціональному показнику $a = p/q$, де $p$ та $q$ - цілі числа, функція визначається на рімановій поверхні із q листів, розріз проводиться вздовж півосі $x = \text{Re }\ z > 0$.

Таким чином, якщо скористатися представленням комплексного числа в експоненційній формі,

$z = r e^{i\varphi} \,$,

то $\varphi$ змінюється від 0 до $2\pi q$.

$f(z) = z^a = r^a e^{ip\varphi/q} \,$.

Для дійсного a - кількість ріманових листів безмежна.

Дивіться також

• Аналітичне продовження