Ступенева функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Степенева функція)
Перейти до: навігація, пошук

Степенева функція[ред.ред. код]

Степене́ва функція — функція вигляду f(x)=x^{a} \!\ , де a — дійсне число.

Область визначення:  (0, \infty ) при  a < 0 ,  [0, \infty ) при  a >0 .

При натуральних показниках степеня a область визначення розширюється на всю числову вісь: (-\infty, \infty ) .

Область значень:   
(0, \infty ) при  a < 0 ,  [0, \infty ) при  a >0 .

Монотонно спадає при  a < 0 , монотонно зростає при  a > 0 . При а > 0 функція має єдиний нуль в точці x= 0. Точок перегину не має.

При  a < 0 має особливу точку при  x = 0 .

Похідна

 \left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}

Невизначений інтеграл

 \int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C

Аналітичне продовження[ред.ред. код]

Степенева функція комплесного агрумента

 f(z) = z^a \,

аналітична (голоморфна) всюди, окрім точки z = 0 при нецілих значеннях показника  a .

При раціональному показнику  a = p/q , де  p та  q - цілі числа, функція визначається на рімановій поверхні із q листів, розріз проводиться вздовж півосі  x = \text{Re }\ z > 0 .

Таким чином, якщо скористатися представленням комплексного числа в експоненційній формі,

 z = r e^{i\varphi} \, ,

то  \varphi  змінюється від 0 до  2\pi q.

 f(z) = z^a = r^a e^{ip\varphi/q} \,.

Для дійсного a - кількість ріманових листів безмежна.

Дивіться також[ред.ред. код]