Степеневий ряд

У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots$ де a_n — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots.$

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

Операції зі степеневими рядами

Додавання і віднімання

Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n$

тоді

$f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.$

Множення і ділення

Для множення і ділення одержуються формули:

$f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)$

$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}$

$= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.$

Послідовність $m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ називається конволюцією послідовностей $a_n$ і $b_n$.

Для ділення виконується:

${f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n$

$f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)$

і значення знаходяться з формул конволюції.

Збіжність степеневих рядів

Степеневий ряд називається збіжним в точці x₀, якщо збіжним є відповідний числовий ряд $\sum_{n=0}^\infty a_n x_0^n = a_0 + a_1 x_0 + a_2 x_0^2 + a_3 x_0^3 + \ldots.$. Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.

Ознаки збіжності

Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.

• Перша теорема Абеля: Нехай ряд $\Sigma \,a_n x^n$ є збіжним в точці ${x_0}$. Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу ${|x|<|x_0|}$ рівномірно по ${x}$ на будь-якій компактній підмножині цього круга.

Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при ${x=x_0}$, він є розбіжним при всіх ${x}$, таких що ${|x|>|x_0|}$. З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга ${R}$ (можливо, нульовий або нескінченний), що при ${|x|<R}$ ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по $x$ на компактних підмножинах круга ${|x|<R}$), а при ${|x|>R}$ ряд є розбіжним. Це значення $R$ називається радіусом збіжності ряду, а круг ${|x|<R}$ — кругом збіжності.

• Формула Коші-Адамара: Значення радіусу збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою:

${1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}$

Нехай $F(x)$ і $G(x)$ — два степеневі ряди з радіусами збіжності ${R_F}$ і ${R_G}$. Тоді

$R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}$

$R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}$

$R_{F'}\, = \,R_F$

Якщо у ряду $G(x)$ вільний член нульовий, тоді

$R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G$

Питання про збіжність ряду в точках межі ${|x|=R}$ круга збіжності потребує додаткового аналізу:

Ознака Д’Аламбера: Якщо при $n>N$ і $\alpha>1$ виконано нерівність

$\left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right)$

тоді степеневий ряд $\Sigma \,a_n x^n$ є абсолютно збіжним в усіх точках кола ${|x|=R}$ і збіжність є рівномірною по $x$.

• Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду $\Sigma \,a_n x^n$ додатні і послідовність $a_n$ монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола ${|x|=1}$, окрім, можливо, точки ${x=1}$.
• Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці ${x=x_0}$. Тоді він є рівномірно збіжним по ${x}$ на відрізку, що сполучає точки 0 і ${x_0}$.

Похідна і інтеграл

Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}$

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.$

Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.

Степеневі ряди багатьох змінних

Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:

$F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2} \ldots X_n^{k_n}$

або, в мультиіндексних позначеннях

$F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha},$

де $X$ — це вектор $X=(X_1,X_2,\dots,X_n)$, $\alpha$ — мультиіндекс $\alpha = (k_1, k_2, \dots k_n)$, $X^{\alpha}$ — одночлен $X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2} \ldots X_n^{k_n}$.

Див. також

• Ряд (математика)
• Формальний степеневий ряд
• Ряд Тейлора
• Теорема Абеля

Література

• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372